Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Uluslararası Matematik Olimpiyatı => 1996 => Konuyu başlatan: geo - Ekim 27, 2013, 03:59:06 ös
-
$P$, $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde $$\angle APB - \angle ACB = \angle APC - \angle ABC$$ olacak şekilde bir nokta olsun. $APB$ ve $APC$ üçgenlerinin içteğet çemberlerinin merkezleri sırasıyla $D$ ve $E$ olsun. $AP$, $BD$, $CE$ nin bir noktada kesiştiklerini gösteriniz.
-
$P$ nin $BC$, $AB$, $AC$ kenarları üzerindeki izdüşümleri sırasıyla $A'$, $B'$, $C'$ olsun.
$A'CB'P$, $AB'PC'$ ve $A'PC'B$ birer kirişler dörtgeni olduğu için,
$\angle C'B'P = \angle PAC'$ ve $\angle PB'A' = \angle PCA'$. $\angle C'B'A' = \angle C'AP + \angle PCA' = \angle APC - \angle ABC$.
$\angle B'C'P = \angle B'AP$ ve $\angle PC'A' = \angle PBA'$. $\angle B'C'A' = \angle B'AP + \angle PBA' = \angle APB - \angle ACB$.
Buradan $\angle A'B'C = \angle B'C'A'$ ve $A'B' = A'C'$ elde ettik.
$\triangle A'B'C$ de, Sinüs Teoreminden $\dfrac{A'B'}{\sin \angle C} = 2R = CP \Rightarrow A'B' = CP \cdot \sin \angle C$.
$\triangle A'C'B$ de, Sinüs Teoreminden $\dfrac{A'C'}{\sin \angle B} = BP \Rightarrow A'C' = BP \cdot \sin \angle B$.
$\triangle ABC$ de, Sinüs Teoreminde $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{\sin \angle C}{\sin \angle B}$.
$A'B'=A'C' \Rightarrow CP \cdot \sin \angle C = BP \cdot \sin \angle B \Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BP}{CP}$ $\Rightarrow \dfrac{AB}{BP} = \dfrac{AC}{CP}$. Bu da demektir ki $\angle ACP$ nin iç açıortayı ile $\angle ABP$ nin iç açıortayı $AP$ üzerinde aynı noktada kesişir. $\blacksquare$