Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Uluslararası Matematik Olimpiyatı => 1997 => Konuyu başlatan: geo - Ekim 27, 2013, 03:58:26 ös

Başlık: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1997 Soru 2
Gönderen: geo - Ekim 27, 2013, 03:58:26 ös

$A$ açısı $ABC$ üçgenindeki açıların en küçüğüdür. $B$ ve $C$ noktaları bu üçgenin çevrel çemberini iki yaya ayırıyor. $U$, $B$ ve $C$ arasındaki, $A$ noktasını içermeyen yayın bir iç noktası olsun. $[AB]$ ile $[AC]$'nin orta dikmeleri $AU$ doğrusunu sırasıyla $V$ ve $W$ noktlarında kesiyor. $BV$ ile $CW$ doğruları da $T$ noktasında kesişiyor. $$|AU|=|TB|+|TC|$$ olduğunu gösteriniz.

Başlık: Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1997 Soru 2
Gönderen: geo - Ekim 29, 2013, 09:35:47 ös

$CW$ çemberi $X$ noktasında kessin.

// IMO 1997 Soru 2 -- geo'nun cozumu
// Ana sekil siyah/mavi; ek cozum (X) ve aci isaretleri KIRMIZI.
// A acisi ucgenin en kucuk acisidir (A=50, B=70, C=60 derece).
import geometry;
import geomania;
size(9cm);

pair A=(-1.8,3.118);
pair B=(-1.8,-3.118);
pair C=(3.383,-1.231);
pair U=(1.231,-3.383);
pair V=(-0.346,0);
pair W=(-0.223,-0.265);
pair T=(-0.442,-0.207);
pair X=(-3.546,0.625);

pen kirmizi=red+1bp;

// --- Ana cizim (siyah / mavi) ---
draw(circle((0,0),3.6));
draw(A--B--C--cycle);
draw(A--U);
draw(B--V);
draw(C--W);
draw(B--U);
draw(C--U);

// --- Ek cozum: X noktasi (kirmizi) ---
draw(W--X, kirmizi);
draw(X--B, kirmizi);
draw(X--T, kirmizi);

// --- Aci isaretleri (kirmizi, yeni centikli stil) ---
// Tek yayli tek centikli: <XBA = <XCA = <CAU
acicentik(A,B,X,1,kirmizi);
acicentik(A,C,X,1,kirmizi);
acicentik(U,A,C,1,kirmizi);

// Cift yayli cift centikli: <ABT = <BAU
aciyay(T,B,A,1,kirmizi);
acicentik(T,B,A,2,kirmizi);
aciyay(B,A,U,1,kirmizi);
acicentik(B,A,U,2,kirmizi);

// noktalar ve etiketler (yakin)
dot("$A$",A,dir(95));
dot("$B$",B,dir(205));
dot("$C$",C,dir(340));
dot("$U$",U,dir(270));
dot("$V$",V,dir(55));
dot("$W$",W,dir(20));
dot("$T$",T,dir(199));
dot("$X$",X,dir(180),red);

$\angle XBA = \angle XCA = \angle CAU$.
$\angle ABT = \angle BAU$.
$\angle BXC = \angle BAC = \angle BAU + \angle CAU = \angle ABT + \angle XBA = \angle XBT \Rightarrow XT=BT$
$AW=WC$ olduğu için $WU=XW$ dur. Bu durumda $AU = XC = XT + TC = BT + TC$ olur.

Başlık: Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1997 Soru 2
Gönderen: Lokman Gökçe - Ağustos 12, 2026, 12:53:36 öö

Çözüm [L. Gökçe]: $OV$, $[AB]$'nin orta dikmesi olduğundan aynı zamanda $\angle AVB$'nin açıortayıdır. Benzer şekilde $OW$, $\angle AWC$'nin açıortayıdır. Bu durumda $TVW$ üçgeninde $O$ noktası $T$'ye göre dış merkezdir. $O$ noktasından $TV$, $TW$, $VW$ doğrularına inilen dikme ayakları sırasıyla $P$, $Q$, $R$ olsun. Dış teğet çemberin yarıçaplarından $|OP| = |OQ|$ olur. Merkezden kirişe inilen dikmeden $|AR| = |RU|$'dur. Ayrıca eşit teğet parçalarından $|TP| = |TQ|$, $|VP| = |VR|$, $|WQ| = |WR|$ olur. Bu bize $|BP| = |AR|$ eşitliğini verir. Çevrel çemberin yarıçaplarından $|OB| = |OC|$ olup $OPB \cong OQC$ eşliğine ulaşırız. $|BP| = |CQ|$ olur.
$$|BT| + |CT| = (|BP| - |TP|) + (|CQ| + |TQ|) = 2|BP| = 2|AR| = |AU|$$
sonucuna ulaşırız.

(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=3625.0;attach=17244;image)

An itibariyle kamuya paylaşılabilir bilgiler :)

• Uzun yıllardır Tübitak olimpiyat eğitim kamplarında ders veren Fatih Sulak hocamız, 1997 IMO'da gümüş madalya kazanmıştı. Bir sohbetimizde şöyle demişti: "Bu madalyayı biraz şansa kazandım. Benim geometrim zayıftır, o yıl kolay bir geometri sorusu geldi ve ben de onu yapabildim. Geometriden puan kazanabilmek benim için büyük bir sürpriz oldu. Böylece gümüş madalyayı kazanacak puana erişebildim."
  1997 sonuçlarına baktım  bu sorudan 5 puan kazanmış Fatih hoca. Yani pek önemli olmayan bir kusur görülmüş ki 2 puanı kırılış. Yine de takımın en iyi skorunu elde etmiş. 1997'de gümüş kazanan tek takım öğrencimiz kendisi görülüyor.  Ben de bir merakla bu problemle uğraştım. Çözümü görmek biraz vaktimi aldı. Problemle uğraşırken gözlemlediğim dikkate değer bazı ilişkileri vereyim.
  
• Açı takibi ile $\angle BTC = \angle TBA + \angle BAC + \angle ACT = 2\angle BAC = \angle BOC$ olduğundan $BTOC$ bir kirişler dörtgenidir.
• Merkez açı-çevre açı ilişkisinden $\angle BOU = 2\angle BAU = 2\angle BAV = \angle BVU$ olduğundnan $BVOU$ kirişler dörtgenidir. Benzer şekilde $\angle COU = 2\angle CAU = 2\angle CAW = \angle CWU$ olduğundnan $COWU$ kirişler dörtgenidir.