Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Uluslararası Matematik Olimpiyatı => 1998 => Konuyu başlatan: geo - Ekim 27, 2013, 03:55:55 ös

Başlık: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1998 Soru 1
Gönderen: geo - Ekim 27, 2013, 03:55:55 ös

$ABCD$ konveks dörtgeninde $AC$ ve $BD$ köşegenleri birbirine dik olup, $AB$ ve $DC$ kenarları paralel değildir. $AB$ ve $DC$'nin orta dikmelerinin kesiştiği $P$ notkasının $ABCD$'nin iç bölgesinde yer aldığı bilinmektedir. $ABCD$'nin bir kirişler dörtgeni olması için gerek ve yeter koşulun $ABP$ ve $CDP$ üçgenlerinin alanlarının eşit olması olduğunu gösteriniz.

Başlık: Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1998 Soru 1
Gönderen: geo - Kasım 01, 2013, 08:24:09 ös

• $[APB] = [PDC] \Longrightarrow AP=PB=PC=PD$ olduğunu gösterelim.
  
  $BD \cap AC = \{E\}$, $[BA \cap [CD = \{F\}$, $AB$ nin orta noktası $X$, $CD$ nin orta noktası $Y$ olsun.
  
  
  // Siyah: sorunun verileri | Kirmizi: cozumdeki ek cizimler
  import geomania;
  size(520);
  
  pen K  = black+1.2;                 // dortgenin kenarlari
  pen Ki = black+0.7;                 // kosegenler ve PA,PB,PC,PD
  pen R  = rgb(0.83,0.08,0.11)+0.9;   // ek cizimler
  pen Rd = R+dashed;
  pen G  = gray(0.90);
  
  // ---- verilenler ----
  pair A = (-3,0), B = (0,-5), C = (4,0), D = (0,2);
  pair Ep = extension(A,C,B,D);                  // kosegenlerin kesimi (E)
  pair X  = midpoint(A--B), Y = midpoint(C--D);  // AB ve DC nin orta noktalari
  pair P  = extension(X, X+rotate(90)*(B-A),     // AB nin orta dikmesi
                      Y, Y+rotate(90)*(C-D));    // DC nin orta dikmesi
  pair F  = extension(A,B,D,C);                  // [BA ile [CD nin kesimi
  
  fill(A--B--P--cycle, G);      // alanlari karsilastirilan
  fill(C--D--P--cycle, G);      // iki ucgen
  
  // ---- kirmizi: ek cizimler ----
  draw(A--F, Rd);  draw(D--F, Rd);
  draw(Ep--X, R);  draw(Ep--Y, R);  draw(X--Y, R);
  draw(P--X, R);   draw(P--Y, R);
  
  // ---- siyah: sorunun verileri ----
  draw(A--B--C--D--cycle, K);
  draw(A--C, Ki);  draw(B--D, Ki);
  draw(P--A, Ki);  draw(P--B, Ki);  draw(P--C, Ki);  draw(P--D, Ki);
  
  draw(rightanglemark(A,Ep,D,8), Ki);   // AC dik BD
  draw(rightanglemark(P,X,A,7), R);     // PX dik AB
  draw(rightanglemark(P,Y,C,7), R);     // PY dik DC
  
  draw(pathticks(A--X), R);      draw(pathticks(X--B), R);
  draw(pathticks(D--Y,2), R);    draw(pathticks(Y--C,2), R);
  
  markangle("$\alpha$", Ep,B,X, radius=0.55, R);
  markangle("$\alpha$", X,Ep,B, radius=0.45, R);
  markangle("$\beta$",  Y,C,Ep, radius=0.55, R);
  markangle("$\beta$",  C,Ep,Y, radius=0.40, R);
  
  dot("$A$", A,  dir(180));
  dot("$B$", B,  dir(270));
  dot("$C$", C,  dir(0));
  dot("$D$", D,  dir(45));
  dot("$P$", P,  dir(45));
  dot("$E$", Ep, dir(225), R);
  dot("$X$", X,  dir(180), R);
  dot("$Y$", Y,  dir(45),  R);
  dot("$F$", F,  dir(45),  R);
  
  
  
  
  Köşegenler dik kesiştiği için $AX=BX=XE$ ve $CY=DY=EY$.
  
  Alan eşitliğinden $PX \cdot AB = PY \cdot CD \Rightarrow PX \cdot EX = PY \cdot EY \Rightarrow \dfrac{EX}{EY} = \dfrac{PY}{PX}$.
  
  $\angle XBE = \angle XEB = \alpha$ ve $\angle YEC = \angle YCE = \beta$ dersek, $\angle AXE = 2\alpha$ ve $\angle EYD = 2\beta$.
  
  $FBEC$ içbükey dörtgeninde $\angle BEC = \angle BFC + \angle FBE + \angle FCE \Rightarrow \angle BFC = 90^\circ - \alpha - \beta$.
  
  $FXEY$ içbükey dörtgeninde $\angle XEY = \angle XFY + \angle AXE + \angle EYD = (90^\circ - \alpha - \beta) + 2\alpha + 2\beta = 90^\circ + \alpha + \beta$.
  
  $PXFY$ dörtgeninde $\angle XPY + \angle XFY = 180^\circ \Rightarrow \angle XPY = 180^\circ - (90^\circ - \alpha - \beta) = 90^\circ + \alpha + \beta = \angle XEY$.
  
  Bu durumda, $K.A.K.$ dan $\triangle XEY \sim \triangle YPX$. $XY$ ortak olduğu için de $\triangle XEY \cong \triangle YPX$ olur. Bu durumda $XE=EY$, yani $AB=CD$ ve alandan $PY=PX$ çıkar. Bu da $\triangle APB \cong \triangle CPD$ olduğu anlamına gelir. $AP=PB=PC=PD$ den de, $ABCD$ nin kirişler dörtgeni olduğu sonucu çıkar. $\blacksquare$
  
  
• $AP=PB=PC=PD \Longrightarrow [APB] = [PDC]$ olduğunu gösterelim.
  
  
  // Siyah: sorunun verileri | Kirmizi: cozumdeki ek cizimler
  import geomania;
  size(340);
  
  pen K  = black+1.2;
  pen Ki = black+0.7;
  pen R  = rgb(0.83,0.08,0.11)+0.9;
  pen G  = gray(0.90);
  
  real r  = 3;                      // cevrel cemberin yaricapi
  pair P  = (0,0);
  // AB ve CD yaylari 70 + 110 = 180 olacak sekilde secildi
  pair A  = r*dir(160), B = r*dir(230), C = r*dir(290), D = r*dir(40);
  pair Ep = extension(A,C,B,D);     // kosegenlerin kesimi; AC dik BD
  
  fill(A--B--P--cycle, G);
  fill(C--D--P--cycle, G);
  
  draw(circle(P,r), R);             // PA=PB=PC=PD oldugundan cevrel cember
  draw(P--A, R);  draw(P--B, R);  draw(P--C, R);  draw(P--D, R);
  
  draw(A--B--C--D--cycle, K);
  draw(A--C, Ki);  draw(B--D, Ki);
  draw(rightanglemark(A,Ep,D,6), Ki);
  
  markangle("$\alpha$", A,P,B, radius=0.60, R);
  markangle("$180^\circ - \alpha$", C,P,D, radius=0.42, R);
  
  dot("$A$", A,  dir(180));
  dot("$B$", B,  dir(225));
  dot("$C$", C,  dir(270));
  dot("$D$", D,  dir(45));
  dot("$P$", P,  dir(90),  R);
  dot("$E$", Ep, dir(-85), R);
  
  
  
  
  $ABCD$ kirişler dörtgeninde köşegenler dik kesiştiği için $AB$ ile $CD$ yaylarının ölçüleri toplamı toplamı $180^\circ$ dir. Bu durumda $\angle APB + \angle DPC = 180^\circ$ ve alan eşitliğinden $[PAB] = \dfrac 12 \cdot PA \cdot PB \cdot \sin \angle APB = \dfrac 12 \cdot PC \cdot PD \cdot \sin (180^\circ - \angle APB) = [PCD] $ $\blacksquare$