Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Uluslararası Matematik Olimpiyatı => 2006 => Konuyu başlatan: geo - Ekim 27, 2013, 01:28:53 ös
-
Tüm $a, b, c$ reel sayıları için $$\left |ab(a^2 - b^2 ) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)\right | \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2$$ eşitsizliğini geçerli kılan en küçük $M$ reel sayısını bulunuz.
-
Burada (https://www.youtube.com/watch?v=FXoQkFzwWj4&ab_channel=lokmang%C3%B6k%C3%A7e) sorunun video çözümünü ekledim. Müsait vakitte yazı biçiminde foruma ekleyebiliriz.
-
Genelleştirilmiş IMO 2006 #3 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=8882.0)
-
$a,b,c$'ler, herhangi üçü farklı reel sayılar olsun. Şayet bu reellerden en az ikisi birbirine eşitse $M\geq 0$ elde ederiz fakat biz en büyük (iyi) değeri arıyoruz. Yani $a,b,c$, çözümün devamında birbirlerine eşit olmasın
$$\left |ab(a^2 - b^2 ) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)\right | =\left |\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)\right |$$
$a-b=x,b-c=y,c-a=z,a+b+c=s$ olsun. Genelliği bozmadan $a>b>c$ olsun (ifade simetrik olduğundan bu kabul yapılabilir). Dolayısıyla $x$ ve $y$ pozitif reel sayılardır. Buna göre sağ taraf
$$M\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=M\left(\dfrac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}{3}\right)^2=\dfrac{M}{9}\left(x^2+y^2+z^2+s^2\right)^2$$
Bunu eşitsizlikte yerine koyduğumuzda
$$|xyzs|\leq \dfrac{M}{9}\left(x^2+y^2+z^2+s^2\right)^2$$
elde ederiz. Pariteleri aynı olan $x,y$ için $x+y$ sabit iken $x=y$ durumunu gösterirsek ispat biter çünkü $x=y$ iken sol taraftaki $xy$'yi maksimize ve sağ taraftaki $x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy$ minimize eder. Bundan ötürü $x=y$ olsun. Haliyle $z=-2x$ olacaktır
$$\left | xyzs\right |\leq \left | 2x^3s\right | \leq \dfrac{M}{9}\left(6x^2+s^2\right)^2 \leq \dfrac{M}{9}\left(x^2+y^2+z^2+s^2\right)^2$$
Yani
$$\dfrac{M}{9}\left(6x^2+s^2\right)^2=\dfrac{M}{9}\left(2x^2+2x^2+2x^2+s^2\right)^2\geq \dfrac{M}{9}\left(4\sqrt[4]{2^3x^6s^2}\right)^2=M.\dfrac{16\sqrt{2}}{9}2x^3s\geq 2x^3s=\left | 2x^3s\right |$$
Dolayısıyla $M\geq \dfrac{9}{16\sqrt{2}}$ elde edilir.
-
$x+y+z=0$ olduğundan $x,y,z$ üçlüsünden ikisi aynı işaretlidir.
Burada $z=0$ olursa $x$ ile $y$ ters işaretlidir. $z$ ise işaretsizdir (nötrdür). İkisinin pozitif olması gerekmez. Yukarıdaki açıklamayı biraz iyileştirmek gerekiyor. Kalan kısımlardaki açıklamalarda iyileştirme gerekiyor mu emin olamadım (kalanını detaylı incelemek için vakit bulamadım). Müsait olan arkadaşlarımız göz atabilirse sevinirim.
-
$x$ ve $y$ negatif olmayan şeklinde de çözüme devam edilebilirdi ama sonrasında sol taraftaki $xy$ yi maksimize etmeye uğraşıyorduk ve orada $x,y$ pozitif reel tanımlı olmalıydı. En az biri sıfıra eşit olsaydı sol taraf maksimize olmak yerine en küçük değerini alacaktı. Çözümde butünlük açısından $x,y,z$'nin başta birbirinden farklı aldık.