$ARBC$ kirişler dörtgeninde $\angle{ACR}=\angle{BCR}=\alpha$ olduğundan, $AR=BR$ ve $\angle{BAR}=\angle{ABR}=\alpha$ olur.
(http://geomania.org/forum/2007-101/uluslararasi-matematik-olimpiyati-2007-soru-4/?action=dlattach;attach=13823;image)
$[QL]$ ve $[PK]$ kenar orta dikmeler olduğundan, $\angle{QAC}=\angle{QCA}=\angle{BCP}=\angle{PBC}=\alpha$ dır.
$\triangle{QAR}$ ve $\triangle{PBR}$ üçgenlerinde sırasıyla $\angle{QAR}=\angle{BAC}$ ve $\angle{PBR}=\angle{ABC}$ dir.
Buraya kadar bulunanlar ile $\triangle{ABC}\sim \triangle{ARQ} \sim \triangle{RBP}$ ve $\triangle{ABR}\sim \triangle{BCP} \sim \triangle{CAQ}$ benzerlikleri görülebilir.
Sırasıyla bu benzerliklerin sağladığı orantıları yazalım.
$$\triangle{ARQ} \sim \triangle{RBP} \Rightarrow \dfrac{PR}{PB}=\dfrac{QR}{QA} \tag{1}$$
bulunur.Diğer taraftan $$\triangle{BCP} \sim \triangle{ACQ} \Rightarrow \dfrac{QA}{PB}=\dfrac{QL}{PK} \tag{2}$$
olup, $(1)$ ve $(2)$ den,
$$QL \cdot QR = PK \cdot PR \tag{3}$$
olur ve $\angle{LQR}=\angle{KPR}$ olduğundan $(3)$'den dolayı $[QLR]=[PKR]$ dir.