Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Uluslararası Matematik Olimpiyatı => 2009 => Konuyu başlatan: geo - Ekim 27, 2013, 01:06:36 ös
-
$O$, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi; $P$ ve $Q$ da, sırasıyla, $[CA]$ ve $[AB]$ kenarları üstünde, köşelerden farklı iki nokta olsun. $K$, $L$ ve $M$ sırasıyla, $[BP]$, $[CQ]$ ve $[PQ]$ doğru parçalarının orta noktaları olmak üzere; $K$, $L$ ve $M$ sırasıyla, $[BP]$, $[CQ]$ ve $[PQ]$ doğru parçalarının orta noktaları olmak üzere; $K$, $L$ ve $M$ den geçen çembere $\Gamma$ diyelim. $PQ$ doğrusu $\Gamma$ çemberine teğet ise, $|OP|=|OQ|$ olduğunu kanıtlayınız.
-
$KL$; $AB$ yi $R$ de, $AC$ yi $S$ de kessin.
$\angle KLM = \angle QMK = \angle AQP$ ve $\angle MKL = \angle LMP = \angle APQ$ olduğu için $A.A$ dan $\triangle APQ \sim \triangle MKL$ dir.
$\dfrac{AP}{AQ} = \dfrac{KM}{ML} \Rightarrow AQ \cdot KM = AP \cdot ML \Rightarrow AQ \cdot BQ = AP \cdot CP$
$\Rightarrow OA^2 - OQ^2 = OA^2 - OP^2 \Rightarrow OQ = OP$. $\blacksquare$