(http://geomania.org/forum/2013-99/uluslararasi-matematik-olimpiyati-2013-soru-4/?action=dlattach;attach=13896;image)
Verilen bilgiler ile $\angle{BNC}=\angle{CMB}=\angle{XBC}=\angle{YCB}=90^\circ$ görülebilir. $w_{1}$ ile $w_{2}$ çemberlerinin ikinci defa kesiştikleri noktaya $S$ diyelim. $\angle{XSW}=\angle{YSW}=90^\circ$ olduğundan $X-S-Y$ doğrusal noktalardır.
$\angle{HAB}=\angle{NCB}=\angle{NBX}=\angle{NSX}= \alpha$ olduğundan $X-H-S$ noktaları ve $\angle{HAC}=\angle{MBC}=\angle{MCY}=\angle{MSY}=\beta$ olduğundan da $Y-S-H$ noktaları doğrusaldır.
Buna göre; $X-H-S-Y$ noktaları aynı doğru üzerindedir.
Çözüm [Lokman Gökçe]:
$\omega_1$ ve $\omega_2$ çemberlerinin kesişimi $K$ noktası olsun. $A$ noktası $\omega_1$, $\omega_2$ ve $BCMN$ kirişler dörtgeninin çevrel çemberlerine göre eşit kuvvette olduğundan bu çemberlerin kuvvet merkezidir. Dolayısıyla $A, K, W$ doğrusal olur.
$\omega_1$'de $\angle XKW = 90^\circ$, $\omega_2$'de $\angle YKW = 90^\circ$ olduğundan $X, K, Y$ doğrusal olur.
$ANHM$ kirişler dörtgeni olduğundan $\angle HMN = \angle HAN = \angle ABX = \angle XKN$ ve $\angle HNM = \angle HAM = \angle ACY = \angle YKM$ eşitlikleri yazılır. Böylece
$$\angle MHN = \angle MKN $$
eşitliğine ulaşırız. Bu ise $A, N, K, H, M$ noktalarının çembersel olması demektir. $\angle AKH = \angle ANH = 90^\circ$ ve $\angle AKY = 90^\circ$ olduğundan $K, H, Y$ doğrusal olur.
Sonuç olarak $X, K, H, Y$ doğrusal olur.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=3559.0;attach=17051;image)