Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Genç Takım Seçme => 2012 => Konuyu başlatan: geo - Ekim 08, 2013, 05:38:29 ös
-
$x+y \geq 0$ koşulunu sağlayan tüm $x,y$ gerçel sayıları için, $$(x^2+y^2)^3 \geq 32(x^3 + y^3)(xy-x-y)$$ olduğunu kanıtlayınız.
(Okan Tekman)
-
$\text{(Matematik Fatihi):}$
$x+y=0$ ise eşitsizlik zaten sağlanır. $x+y=a>0$ ve $xy=b$ diyelim. Eşitsizlik $(a^2-2b)^3 \ge 32a(a^2-3b)(b-a)$ haline döner. İlk önce $a^2 \ge 3b$ olduğunu gösterelim. Bu da $x^2+y^2 \ge 2|x||y| \ge xy$ olduğundan doğrudur. $(b-a)$ nın negatif-pozitifliğini ise iki durumda inceleyelim.
$\text{ i.}$ $a>b$ olsun. O zaman eşitsizliğin sol tarafı negatif, sağ tarafı pozitif olur. Sağlanır.
$\text{ii.}$ $b \ge a$ olsun. O halde $a^2-3b$ ve $b-a$ negatif değildir. O halde $A.G.O$ dan;
$2a^2-2b \ge 3\sqrt[3]{4a.2(a^2-3b).4(b-a)}$ olduğunu söyleyebiliriz. Buradan da ifade düzenlenirse $(\dfrac{2a^2-2b}{3})^3 \ge 32a(a^2-3b)(b-a)$ elde edilir. Eğer $a^2-2b \ge \dfrac{2a^2-2b}{3}$ olduğunu gösterirsek ispat biter. İfadeyi düzenlersek $a^2 \ge 4b$ olur. Ki bu da $(x-y)^2 \ge 0 \rightarrow (x+y)^2 \ge 4xy$ olduğundan doğrudur. İspat biter. Eşitlik $x=y=4$ ve $x=y=0$ için sağlanır.