$|BC|=a , |CA|=b , |AB|=c$ olan bir $ABC$ üçgeninde $I , I_{a} , I_{b} , I_{c}$ sırasıyla iç ve dış teğet çemberlerin merkezleri ve $r , r_{a} , r_{b} , r_{c}$ bu çemberlerin yarıçapları , $u$; yarı çevre , $\Delta$; üçgenin alanını göstermek üzere,
(http://geomania.org/forum/2012-92/tubitak-genc-takim-secme-2012-soru-5/?action=dlattach;attach=13833;image)
iddia: $r_{a}-r = \dfrac{a.r}{u-a}$ dır.
ispat: Şekilden, $\triangle{ADI} \sim \triangle{IFI_{a}}$ olduğundan $\dfrac{u-a}{a}=\dfrac{r}{r_{a}-r} \Rightarrow r_{a}-r=\dfrac{a.r}{u-a}=\dfrac{a.r.r_{a}}{(u-a)r_{a}}= \dfrac{r}{\Delta}\cdot ar_{a}$ olur.
$\dfrac{a+b+c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \dfrac{r_a+r_b+r_c-3r}{\sqrt {r_a^2+r_b^2+r_c^2}}\leq 2$ eşitsizliğinin doğruluğunu göstereceğiz.
Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden $(ar_{a}+br_{b}+cr_{c}) \leq ( \sqrt{a^2+b^2+c^2})( \sqrt {r_a^2+r_b^2+r_c^2})$ olduğundan,
$\dfrac{a+b+c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \dfrac{r_a+r_b+r_c-3r}{\sqrt {r_a^2+r_b^2+r_c^2}}\leq \dfrac{(a+b+c)(r_{a}-r+r_{b}-r+r_{c}-r)}{(ar_{a}+br_{b}+cr_{c})} =\dfrac{\dfrac{r}{\Delta}(a+b+c)(ar_{a}+br_{b}+cr_{c})}{(ar_{a}+br_{b}+cr_{c})} = \dfrac{r.2u}{u.r}=2 $