Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2010 => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Eylül 28, 2013, 06:50:53 ös
-
$2010$ kişinin yaşadığı bir köyde her ikisi de aynı arkadaş sayısına sahip olan bir tek ikili varsa, bu sayı kaç farklı değer alabilir?
$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
-
Yanıt: $\boxed B$
Cevap: $2$.
Her kişinin arkadaş sayısı $0,1, \ldots, 2019$ sayılarından birine eşittir ve bir kişinin $0$ $(2009)$ arkadaşı varsa kimsenin $2009$ $(0)$ arkadaşı olamaz.
Durum 1: $2009$ arkadaşı olan bir kişi var. O zaman $0$ arkadaşı olan kimse yoktur ve arkadaş sayısı $1,2, \ldots, 2009$ olan kişiler vardır. $2009$ arkadaşı olan kişiyi köyden atıp tüm arkadaşlıklarını da iptal edersek kalan $2009$ kişi arasında arkadaş sayısı $0,1,\ldots,2007$ olan kişiler olacaktır. Demek ki arkadaş sayısı $2008$ olan kişi olmayacaktır. $0$ arkadaşı olan kişiyi köyden atalım. Kalan $2008$ kişi arasında arkadaş sayısı $1,2, \ldots, 2007$ olan kişiler olacaktır. Demek ki arkadaş sayısı $0$ olan kişi olmayacaktır. Arkadaş sayısı $2007$ olan kişiyi köyden atıp tüm arkadaşlıklarını da iptal edersek kalan $2007$ kişinin arasında arkadaş sayısı $0,1, \ldots, 2005$ olan kişiler olacaktır. Demek ki arkadaş sayısı $2006$ olan kişi olmayacaktır. Benzer şekilde devam edersek sonunda birbiriyle arkadaş olan iki kişi kalacaktır. Köyden atılan kişileri de dikkate alırsak bu iki kişinin her birinin başlangıçtaki arkadaş sayısı $1005$ olmalıdır.
Durum 2: $0$ arkadaşı olan bir kişi var. Birinci durumdaki gibi hareket edersek en son köyde aralarında arkadaş olmayan iki kişi kalacaktır. Köyden atılan kişileri dikkate alırsak bu iki kişinin başlangıçtaki arkadaş sayısı $1004$ olmalıdır.
Buna göre, köyde her ikisi de aynı arkadaş sayısına sahip olan iki kişinin her birinin ya $1004$, ya da $1005$ arkadaşı bulunuyor.
Kaynak: Tübitak 18. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2010