Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2011 => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Eylül 05, 2013, 12:04:08 ös
-
Aşağıdaki eşitsizliklerden hangisinin $xy$-düzleminde tanımladığı bölge ile kesişimi tam olarak iki noktadan oluşan bir doğru bulunur?
$
\textbf{a)}\ x^{2}+y^{2}\leqslant 1
\qquad\textbf{b)}\ \left | x+y \right |+\left | x-y \right |\leqslant 1
\qquad\textbf{c)}\ \left | x \right |^{3}+\left | y \right |^{3}\leqslant 1 \\
\textbf{d)}\ \left | x \right |+\left | y \right |\leqslant 1
\qquad\textbf{e)}\ \left | x \right |^{\frac{1}{2}}+\left | y \right |^{\frac{1}{2}}\leqslant 1
$
-
Yanıt: $\boxed{E}$
$(e)$ şıkkının karesini alalım: $|x| + |y| + 2\sqrt{|xy|} \leq 1$
$x+y=1$ olduğu zaman $|x| + |y| \geq |x+y| = 1$ olacağı için $xy=0$ olmalı. $x+y=1$ ve $xy=0$ sisteminin ise iki çözümü vardır. $(0,1)$ ve $(1,0)$.
Eşitsizliğin Wolfram Alpha Grafiği (http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cx%7C%5E%7B1%2F2%7D+%2B+%7Cy%7C%5E%7B1%2F2%7D+%5Cleq+1) incelendiğinde iç bükey bir bölge görülür. Bu bölge ile iki noktada kesişen dört doğru bulunur.
Diğer şıkları da inceleyelim:
$(a)$ şıkkı bir çember denklemidir. Bu durumda bir doğru ile kesişim kümesi $0,1, \infty$ elemanlı olabilir. Grafik (http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2+%2B+y%5E2+%5Cleq+1)
$(b)$ şıkkındaki $|x+y|+|x-y| = 1$ denklemi bir kare belirtir. Grafik (http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cx%2By%7C%2B%7Cx-y%7C+%5Cleq+1)
$(c)$ şıkkı için $x^3 + y^3 = 1$ i $1.$ bölgede incelediğimizde çembere benzeyen bir dış bükey eğri elde ederiz. Diğer eksenler için simetrik durum söz konusudur. Wolfram'a grafiği çizdirdiğimizde tüplü televizyon (http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cx%7C%5E%7B3%7D+%2B+%7Cy%7C%5E%7B3%7D+%5Cleq+1) vari bir şekille karşılaşırız.
$(d)$ şıkkının grafiğinin bir kare (http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cx%7C+%2B+%7Cy%7C+%5Cleq+1) olduğu açıktır.