Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2011 => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Eylül 04, 2013, 02:58:10 ös
-
Bir $ABCD$ eşkenar dörtgeninin iç bölgesinde yer alan bir $E$ noktası $\left|AE\right|=\left|EB\right|, m\left ( \widehat{EAB} \right )=11^{\circ}$ ve $m\left ( \widehat{EBC} \right )=71^{\circ}$ koşullarını sağllıyorsa, $m\left ( \widehat{DCE} \right )$ nedir?
$
\textbf{a)}\ 72^{\circ}
\qquad\textbf{b)}\ 71^{\circ}
\qquad\textbf{c)}\ 70^{\circ}
\qquad\textbf{d)}\ 69^{\circ}
\qquad\textbf{e)}\ 68^{\circ}
$
-
Yanıt: $\boxed{E}$
$\triangle ABC$ de $AB=BC$ olup $\angle BAC = \angle BCA = 49^\circ$ dir.
$\triangle BEC$ nin iç bölgesinde $\triangle BE'C \cong \triangle BEA$ olacak şekilde bir $E'$ noktası alalım.
$\angle E'BC = \angle E'CB = 11^\circ$, $AE=EB=BE'=E'C$ ve $\angle EBB' = 60^\circ$ dir. Bu durumda $\triangle EBB'$ eşkenardır.
İster basit açı hesabıyla ister $E'$ noktasının $\triangle BEC$ nin çevrel çemberinin merkezi olduğunun fark edilmesiyle $\angle ECB = 30^\circ$ olarak bulunabilir.
Bu durumda $\angle ECA = 49^\circ - 30^\circ = 19^\circ$ dir.
$ABCD$ eşkenar dörtgen olduğu için $\angle ACD = \angle ACB = 49^\circ$ ve $\angle DCE = 49^\circ + 19^\circ = 68^\circ$ dir.
Not:
$0^\circ<t<30^\circ$ olmak üzere; $\triangle ABC$ de, $\angle BAE = \angle ABE = 30^\circ - t$, $\angle EBC = 90^\circ - t$, $\angle EAC = 2t$ olduğu durumda, $\angle ECA = t$ çıkar. Bu soru için $t=19^\circ$ verilmiş.
Ek olarak, bu soru modeli, burada (https://geomania.org/forum/index.php?topic=1556.0) bahsedilen 4.7 numaralı modeldir.
(Bu tip soruların modelini bulmak için bu programı (https://output.jsbin.com/qamehin/1#38,11,11,71) kullanabilirsiniz.)
Burada bahsedilen modelde gösterim yaparsak, $(30^\circ - t = 11^\circ, 90^\circ - t = 71^\circ, x):(30^\circ - t = 11^\circ, 2t = 38^\circ, y)$ dir. Ceva teoreminin trigonometrik halinin bir sonucu olarak gruplardaki açılar kendi aralarında yer değiştirebilir. Bu durumda, bu soru Lise 1. Aşama 2012/17 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=3408.0) sorusu ile büyük benzerlik taşır.
-
$\angle EBA = \angle EAB = \alpha$, $\angle EBC = 60^\circ - \alpha$ ve $\angle EAC = 60^\circ - 2\alpha$ olsun.
İddia: $\angle ECB= 30^\circ$ ve $\angle ECA = 30^\circ - \alpha$ dır.
Burada (https://geomania.org/forum/index.php?topic=4308.0) ilgili ispatı bulabilirsiniz. $\blacksquare$
$\alpha = 11^\circ$ aldığımızda, bize sorulan soruyu elde ederiz.
$\angle ABC = 82^\circ$ ve $\angle BCE = 30^\circ$ olduğu için $\angle DCE = (180^\circ - 82^\circ) - 30^\circ = 68^\circ$ dir.