Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2012 => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Eylül 02, 2013, 11:43:06 ös
-
Bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde yer alan bir $D$ noktası için, $m\left ( \widehat{BAD} \right )=20^{\circ}, m\left ( \widehat{DAC} \right )=80^{\circ}, m\left ( \widehat{ACD} \right )=20^{\circ}$ ve $m\left ( \widehat{DCB} \right )=20^{\circ}$ ise $m\widehat{\left ( ABD \right )}$ nedir?
$
\textbf{a)}\ 5^{\circ}
\qquad\textbf{b)}\ 10^{\circ}
\qquad\textbf{c)}\ 15^{\circ}
\qquad\textbf{d)}\ 20^{\circ}
\qquad\textbf{e)}\ 25^{\circ}
$
-
Yanıt: $\boxed{B}$
$\triangle ABD$ yi $[AC]$ üzerine, üçgenin içine doğru $\triangle ABD \cong \triangle AEC$ olacak şekilde yapıştıralım.
$AD=AE$ ve $\angle DAE = 60^\circ$ olduğu için, $\triangle AED$ eşkenar, dolayısıyla $AE=ED$. Aynı zamanda, $AC=CD$ olduğu için, $\angle ACD$ nin açıortayı $E$ den geçer. Bu durumda, $\angle ABD = \angle ECA = \angle ACD / 2 = 10^\circ$ olacaktır.
Not:
$0^\circ<t<30^\circ$ olmak üzere; $\angle BAD = 30^\circ - t$, $\angle DAC = 90^\circ - t$, $\angle ACD = 2t$, $\angle DCB = 30^\circ - t$ olduğu durumda, $\angle ABD = t$ çıkar. Bu soru için $t=10^\circ$ verilmiş.
Ek olarak, bu soru modeli, burada (https://geomania.org/forum/index.php?topic=1556.0) bahsedilen 4.7 numaralı modeldir. (bkz. javascript tabanlı model belirme aracı (https://output.jsbin.com/qamehin/1#20,20,80,20))
Bu modele ait sorulardan biri burada (https://geomania.org/forum/index.php?topic=4308.0) fazlasıyla irdelenmiştir. Oradaki soru farklı olsa da bu soruyla aynı modele ait olduklarından kolayca birbirlerine dönüştürülebilir. Kaldı ki, ilgili konunun içerisinde buradaki soru tipine dönüştürülerek verilmiş çözüm (https://geomania.org/forum/index.php?topic=4308.0)ler yer alıyor.
-
$[AD$ üzerinde $AB=AC=AE$ olacak şekilde bir $E$ noktası alalım. $\triangle ABE \cong \triangle CAD$ olacaktır. Bu durumda, $AD=BE$ olur.
$\triangle ABE$ üçgeni bir $20^\circ - 80^\circ - 80^\circ$ üçgenidir. $AD=BE$ durumunda $\angle ABD$ yi soran soru klasik ve birçok çözümü olan bir soru. Bir tanesini verelim:
$AD=BF$ olacak şekilde $ABFD$ ikizkenar yamuğunu kuralım. $\angle DAB = \angle ABF =20^\circ$. $\angle FBE = 60^\circ$ ve $BF=AD=BE$ olduğu için $\triangle FBE$ eşkenardır. Bu durumda, $BF=FE$ olduğu için, $AF$, $\angle BAE$ nin açıortayıdır. İkizkenar yamukta, $\angle BAF = \angle ABD = 10^\circ$ olacaktır.