Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2012 => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Eylül 02, 2013, 06:42:10 ös
-
$x^{3}+2=3y, y^{3}+2=3z, z^{3}+2=3w, w^{3}+2=3x$ eşitliklerini sağlayan kaç $(x,y,z,w)$ gerçel sayı dörtlüsü vardır?
$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ \text{ Hiçbiri}
$
-
Yanıt: $\boxed{E}$
(L. Gökçe)
$x^{3}+2=3y, y^{3}+2=3z, z^{3}+2=3w, w^{3}+2=3x$ eşitliklerinin her iki tarafına $6$ ekleyelim.
$x^{3}+2^3=3(y+2), y^{3}+2^3=3(z+2), z^{3}+2^3=3(w+2), w^{3}+2^3=3(x+2) $ olur. İki küp toplamı özdeşliğini kullanarak bu eşitlikleri taraf tarafa çarpıp $(x+2)(y+2)(z+2)(w+2)$ ile sadeleştirirsek $(x^2 - 2x + 4)(y^2 - 2y + 4)(x^2 - 2z + 4)(w^2 - 2w + 4) = 3^4$ olur. $f(a)=a^2 - 2a + 4=(a-1)^2+3$ parabolünün min değeri $a=1$ için $f_{min}=3$ olduğundan $(x^2 - 2x + 4)(y^2 - 2y + 4)(x^2 - 2z + 4)(w^2 - 2w + 4) \geq 3^4 $ tür. Eşitlik durumunun sağlanması için gerek ve yeter şart $x=y=z=w=1$ olmasıdır. $(1,1,1,1)$ bir çözümdür. Ayrıca $(x+2)(y+2)(z+2)(w+2)$ ile sadeleştirme yapmasak ve bu ifadenin çarpanlarından birinin $0$ a eşit olması durumuna da bakmalıyız. $x=-2$ için ilk denklemden $3y=-6$ olup $y=-2$ bulunur. Bu şekilde $z=-2$ ve $w=-2$ dir. Diğer çözüm dörtlüsü $(-2,-2,-2,-2)$ dir.
Toplamda $2$ farklı çözüm dörtlüsü bulunur.