Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2013 => Konuyu başlatan: alpercay - Ağustos 21, 2013, 12:01:29 ös
-
$[1, 2013]$ aralığında yer alan $n$ gerçel sayısı nasıl seçilirse seçilsin, kenar uzunlukları birbirinden farklı olup bu sayılardan bazılarına eşit olan bir çokgen bulunuyorsa, $n$ en az kaç olabilir?
$
\textbf{a)}\ 14
\qquad\textbf{b)}\ 13
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 11
\qquad\textbf{e)}\ 10
$
-
Yanıt: $\boxed{B}$
$x<y<z$ sayıları verildiğinde $x+y\leq z$ ise bir üçgen oluşturamıyoruz.
$x<y<z<w$ sayıları verildiğinde $x+y+z \leq w$ ise bir dörtgen oluşturamıyoruz. Hem $x+y\leq z$ hem de $x+y+z\leq w$ ise ne üçgen oluşuyor, ne de dörtgen.
$1< 1+x < 2+2x < 4+4x < \dots < 1024 + 1024x$ sayılarından $a<b<c$ şeklinde üç sayı seçtiğimizde her zaman $a+b<c$ oluyor.
Benzer şekilde dört sayı seçtiğimizde $a+b+c<d$ olacaktır.
$(0,\frac{989}{1024}]$ aralığında bir $x$ sayısı seçildiğinde $1,1+x,2+2x,\dots ,1024+1024x$ sayıları hiçbir şekilde bir çeşitkenar çokgen oluşturmayacak.
Yani $n=12$ olduğunda çeşitkenar çokgenin bulunamadığı $n$ adet sayı seçilebiliyor.
$n=13$ olduğunda seçilen sayılar $1\leq x_1<x_2<\dots <x_{13}\leq 2013$ olsun.
$x_1+x_2+\dots+x_{i-1}>x_i$ olması demek çeşitkenar $i$-gen bulunabilir demek.
Hiçbir $i$ değeri için çeşitkenar çokgen bulunamadığını varsayalım.
$1\leq x_1<x_2$
Her tarafa $x_2$ ekleyelim:
$2\leq x_1+x_2\leq x3$
Her tarafa $x_3$ ekleyelim:
$4\leq x_1+x_2+x_3\leq x_4$
$\vdots$
$2048\leq x_1+x_2+\dots+x_{12}\leq x_{2013}\leq 2013$
olduğu için çelişki elde ettik.
Bu durumda $n=13$ olduğunda en az bir $i$ değeri için $x_1+x_2+\dots+x_{i-1}>x_i$ dir. Yani çeşitkenar $i$-gen bulunabilir.