Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: alpercay - Kasım 19, 2007, 09:25:36 ös
-
Y.207 Herhangi 3 tanesinden bir üçgen yapılabilen 5 doğru parçası verilmiştir.Bu doğru parçalarından yapılabilen üçgenler içinde en az bir tanesinin dar açılı olduğunu ispatlayınız.
-
verilen uzunluklar a,b,c,d,e olsun. a < b < c < d < e kabul edelim. Varsayalım ki üçgenların hiçbirisi dar açılı değildir. O halde hepsi dik açılı yada geniş açılıdır. c2 > a2 + b2, e2 > d2 + c2, d2 > c2 + a2 dir. buradan e2 > 3.a2 + 2.b2 ...(1) olur. fakat a + b > e olduğundan a2 + b2 +2ab > e2 ... (2) olup (1) ve (2) den, a2 + b2 +2ab > 3.a2 + 2.b2 dir. 2ab > 2.a2 + b2 bulunur. Bu ise aritmetik - geometrik ort. eşitsizliği ile çelişir. Başlangıçta yaptığımız tüm üçgenlerin geniş yada dik açılı oldukları kabulü yanlıştır. En az bir tane dar açılı üçgen olmak zorundadır.
-
Eline sağlık Lokman Hocam.Konuyla ilgili olduğundan ekteki olimpiyat problemi ile devam edelim.
Problem. Düzlemde 2n+1 adet doğru çizilmiştir.Bunlardan herhangi ikisi paralel değildir ve herhangi üçünün ortak bir noktası yoktur.Herhangi 3 doğru dik üçgen dışında üçgenler oluşturabilmektedir.Oluşabilecek dar açılı üçgen sayısı en çok kaç olur?
Macar-İsrail Matematik Olimpiyadı 1999