Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2013 => Konuyu başlatan: alpercay - Ağustos 18, 2013, 06:19:09 ös

Başlık: Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 03
Gönderen: alpercay - Ağustos 18, 2013, 06:19:09 ös

Katsayıları $ \{0,1,2,3,4,5\} $ kümesine ait olan bir polinomun $x-6$ ile bölümünden kalan $2013$ ise $x$ in katsayısı en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 2
\qquad\textbf{e)}\ 1
$

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 03
Gönderen: geo - Eylül 28, 2013, 10:26:50 öö

Yanıt: $\boxed{A}$

$P(x) = (x-6)Q(x) + 2013 \Rightarrow P(6)=2013$ olur.
$P(x) = \overbrace{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2}^{x^2R(x)} + a_1x+ a_0$ diyelim.

$P(6) = 36R(6) + 6a_1 + a_0 = 2013$ eşitliğini $\bmod {6}$ da incelersek $a_0 = 6k + 3$, sorudaki kısıttan dolayı da $a_0 = 3$ çıkar.

$P(6) = 36R(6) + 6a_1 + 3 = 2013 \Rightarrow 6a_1 = 2010 - 36R(6) \geq 2010 - 55\cdot 36 = 30 \Rightarrow a_1 \geq 5$

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 03
Gönderen: geo - Eylül 28, 2013, 10:31:09 öö

Yanıt: $\boxed{A}$

$P(x) = (x-6)Q(x) + 2013 \Rightarrow P(6)=2013$ olur.
$P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x+ a_0$ ifadesinde $x=6$ ve katsayılar $6$'dan küçük olduğu için $P(6)$ ile $6$ tabanında bir sayı gösteriliyor.
Bu durumda $P(6)=(2013)_{10}=(13153)_6$ olduğu için $a_1 = 5$ çıkacaktır.