Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: alpercay - Kasım 19, 2007, 01:04:18 öö
-
...
-
tanım kümesi tamsayılar olarak alarak çözüm yaptığımızda f(x) = x2 + 2001x çözümüne ulaşıyoruz. T.K = Q olduğunda soru daha zor oluyor haliyle ... asıl bizden istenen bu durum için de yine f(x) = x2 + 2001x çözümüne ulaşılacaktır diye tahmin ediyorum. bişeyler bulursam yazarım ...
-
genel çözümü de verelim (part 1)
-
(part 2)
-
Şöyle başlasak daha iyi olurdu bu konuya...
-
...
-
Feyzullah Hocam öncelikle teşekkür ederim.Amacımız sıfırdan başlayarak verdiğiniz denklemleri elde etmek,yani kanıtlamak.Bu konuda elinde döküman olan hocalarımız paylaşırlarsa(daha çok pdf kitap vs anlamında) seviniriz.
-
başka çözümler de vardır...f(x + y) = f(x) + f(y) denkleminin bir çözümü de şöyle yapılabilir:
-
limitsiz bir çözüm yapılamazmı
-
limitsiz çözümler de yapılabilir belki. başka çözüm yöntemleri de olabilir. fonksiyonel denklemlerin nasıl çözüldüğü hakkında pek bilgi sahibi olmadığım için o anda aklıma gelen şekilde bir çözüm uydurmuştum. :)
-
limit kullanmadan çözülen birkaç fonksiyonel denklem problemi yazıp derledik. Osman kardeşim bunları limitsiz çözsek diyordu. ben de kendi kendime dedim ki: birkaç çözüm yaptım da saklıyor gibi bir izlenim mi veriyorum acaba? :) neden sonra aklıma geldi, belki de osman kardeşim limiti bilmiyordu ve bu yüzden temel matematik yöntemleri ile yapılan bir çözüm arıyordu :( . yazının sonunda ''neden limit?'' sorusunun cevabı da saklıdır. Özellikle Osman kardeşim için yolluyoruz.(kendisine kıyak geçelim) ;) yazının içnde bir de toplam sembolü (yan yatmış M) var. uzun toplamları kısa ifadelerle yazmaya düşkün akıllı matematikçilerin bulduğu bir gösterim. bir saatlik toplam sembolü çalışması ile yazıdaki işlemler rahatça anlaşılır sanıyorum. toplam sembolü kimseye sorun çıkarmayacaktır. türev ve integral kullanılan bir çözüm yöntemimiz daha var. zaman buldukça limit-türev-intergalli problem ve çözümleri de yazarım inş. hatta yazı uzarsa düzenleyip PDF şekline getirebiliriz.iyi olur.şu anda maalesef foruma gelen sorulara sadece gözatmakla yetinebiliyorum :-\ iyi çalışmalar...
-
çok teşekürler aradım seylerden biriydi bu evet ben daha limit görmedim sağolun ilginizi için
-
Yukarılarda verilen 4 denklem en klasik fonksiyonel denklem problemleridir.Lokman Hocam çözümleri yapmaya başladı ve inşaallah devamı gelecek hepimizin desteği ile.Şimdilik araya başka bir problem sıkıştıralım.
-
...
-
süper bir soru hazırlamışlar gerçekten.bu son çözüm çok iyiydi!
-
peki f(x.y)=f(x).f(y) denklemini toplam veya çarpım sembolu ile nasıl çözebiliriz
-
Fonksiyonel denklem problemlerini çözerken şu adımlar faydalı olabiliyor:
1.Verilen bağıntıdan fonksiyonun bazı özel değerlerini hesaplamak
2.Fonksiyonun 1-1,örten,artan,azalan olma gibi bazı özelliklerini aramak
3.Fonksiyonun sağlaması gereken başka bağıntılar bulmak
4.Fonksiyonel denklemin bazı özel tip çözümlerine bakmak
Bu arada tanım ve değer kümeleri de önemli rol oynayabiliyor.Çözümlerde özel bir takım kabüller yapmamaya da dikkat edilmelidir.Mesela istenen fonksiyonun türevlenebildiği verilmemişse ya da bunu göstermemişsek çözümde türevi kullanmamamız gerekir.Sürekliliği verilen ya da bilinen denklemlerin çözümünde limit kullanılıyor genellikle.Yine de limitsiz çözümler varmıdır bilgim haricinde.İlk fonksiyonel denklemi f yi sürekli kabül ederek bir daha çözelim.
-
...
-
bir soruda benden olsun bari. ;)
-
..
-
..
-
...
-
..
-
fonksiyonel denkleri topolojik yönüyle incelenmiş elinize sağlık
-
Topolojik değil de cebirsel/analiz yönden dersek daha doğru olur diye biliyorum.İbrahim hocam sorunuzu sağlayan birkaç fonksiyon buldum sanırım.Örneğin
f(x) = 0 homomorfizması (trivial,aşikar homomorfizma) bunlardan biri.Özdeşlik fonksiyonu da sağlıyor.Bir de
f(a + bx) = a - bx fonksiyonu da sağlıyor.(alfa = x)
Başka var mı bilmiyorum.
-
Alper hocam aşikar homomorfizma yani sıfır dönüşüm birebir ve örten değil. Bunun dışında birim (özdeşlik) dönüşümü ve verdiğiniz diğer f(a+balfa)=a-balfa diğeri. Yani soruda izomorfizma kendisinden kendisine olduğundan otomorfizmaları bulmamızı istenmiştir. Bu da Q(kök(alfa)) vektör uzayının Q üzerindeki boyutu kadardır. bu da 2 olduğundan tam tamına iki tane otomorizma vardır.
İleride cisim genişlemeleri konusunu da ele alacağım. Bu konunun galois kuramıyla ilgisi olduğunu da belirteyim.
Bir F cismi üzerinde tanımlı f(x) asal polinomunun parçalanış cismi nedir? sorusuna yanıt verdiğimizde ve sonlu permütasyon gruplarıyla f(x) in kökleri arasındaki bağıntıları bulup bu otomorfzmaların sayısının tam olarak belirlenediğini göreceğiz. Galois grupları bize bu konuda çok şey söylemektedir. Ama işin daha çok başındayız :)
-
Cisim genişlemesi derken şunu mu kastediyoruz:Mesela Q,R nin bir alt cismi olduğundan R ,Q nun cisim genişlemesidir.Aynı ilişkiyi R ve C arasında da düşünebiliriz.Q(kök(2)) de Q nun bir cisim genişlemesi olur herhalde.Neyse,siz gönderdikçe öğreneceğiz.Asıl merak ettiğim fonksiyonel denklemlere vereceğiniz cebirsel yanıtlar.
-
involüsyonlar yardımı ile çözülebilecek bazı fonksiyonel denklem problemleri ...
-
4.Denklem
-
özür dilerim daha limit türev vs görmedim 10. sınıftayım kusura kalmayın limtisiz vs çözümler yapılırmı ???
-
bazı problemler sadece toplam sembolü formülleri kullanılarak çözülemeyebilir. Örneğin Alper Bey, türevlenebilir f: R+
---> R f(x.y) = f(x).f(y) denkleminin çözümlerini f(x) = xc olarak bulmuştu. Özel bir çözüm de f(x) = xpi dir. c = pi alınca bu da denklemin bir çözümü olur. Şimdi f(x) = xpi çözümünü toplam sembolü ile ilgli olan
1 + 2 + 3 +... + n = n(n + 1)/2
12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 ...vs
formülleri kullanarak elde etmek mümkün olmayabilir. dolayısıyla f(x) = xc şeklindeki genel çözümü elde etmek için de bu toplam formülleri hiç ama hiç yeterli olmayabilir. Bazen işin içinden çıkabilmek için daha güçlü yöntemlere gerek duyulur.
tanım kümesini kısıtlamak, sürekli olmak, türevli olmak gibi koşullar ilave edilerek problemler biaz daha yumuşatılabilir veya zorlaştırılabilir.
bir de bu yaptıklarımıza benzer olan Euler'in çözdüğü bir fonksiyonel denklem vardı. O soruyu da bulursak çözümüyle birlikte yollayalım.(Euler başkadır)
-
teşşekürler lokman hocam
-
En bilinen fonksiyonel denklemleri çözdük.Yavaş yavaş farklı sorular çözmeye başlayalım diye düşündüm ve aklıma 2007 nin öss sorusu geldi.
Soruda geçen fonksiyonel denklemi bulabilir miyiz?
-
buluruz tabiki y=1 için sabit tutarsak gerisi kolay ;D
-
...
-
Teknokrat hocama çözümü için teşekkürler.Osman'ın erindiğini ben yapmaya çalışayım.
-
f, R den R'ye olmak üzre f(0)= 1 ve her x, y reel sayıları için
f(x.y + 1) = f(x)f(y) - f(y) -x +2 ise f(x) = ?
-
f, R den R'ye olmak üzre f(0)= 1 ve her x, y reel sayıları için
f(x.y + 1) = f(x)f(y) - f(y) -x +2 ise f(x) = ?
Osman hocam, eşitlik f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-f(x)+2 olmasın. Simetriklik sağlanmıyor çünkü.
-
İbrahim Hocam, f(x) = x + 1 fonksiyonu verilen fonksiyoneli sağlıyor.Simetriklik direkt olarak görülebilir mi her zaman?Ekte bir soru var.
-
...
-
İbrahim Hocam, f(x) = x + 1 fonksiyonu verilen fonksiyoneli sağlıyor.Simetriklik direkt olarak görülebilir mi her zaman?Ekte bir soru var.
-
...
-
1. f(f(x))=f(x)+x türevlenebilen fonksiyon sınfında bu denklemi çözünüz.
2. f(xy)=f(x)+ff(y) x ve y pozitif reel sayılar olmak üzere bu denklemi türevlenebilen fonksiyon sınıfında çözünüz.
-
Öncelikle selamlar,...
''pozitif gerçel sayılarda tanımlı f(x) fonksiyonu her x,y için
f(x).f(y) - f(x.y)= x/y + y/x koşulunu gerçeklediğine göre f(2) değerlerini bulunuz...''
ilgilenen değerli hocalarıma şimdiden çok teşekkür ederim..
sevgi ve saygılarımla...
-
...
-
Lokman hocam ben de senin gibi düşünerek yanıtladım. Ancak bir öğrenci soruyu farklı bir yoldan çözerek yine iki farklı değer bulmuş ancak biri 5/2 biri de -4/5 . Yaptığı tüm işlemlerde doğru bir hata yok. Buna göre de bulduğu f(1) değerlerinden biri bizim bulduğumuz, bir diğeri ise -17/8. Tabiiki o işlemleri yaparken hiç f(1) bilgisini kullanmamış. Yaptığı işlemleri akşam eve gidince yazayım.
-
hocam şu soruda biraz kafam karıştı anlamış değilim de tam açıklarsanız sevinirim
fonksiyonel denklemler 1 - örnek soru 4 ü tam olarak anlamadım
örnek soru 5 in de çözümünde hata var soruda f(0) isteniyo ama f(1) bulunmuş .
-
İlginiz için teşekkürler, Örnek 5'in çözümünde son adımda bir hata yapmışım. son satırda f(1) = 1/2 yazılıp f(0) = -10/7 bulunur. (Daha başka gözünüze takılan hatalı yazımlar varsa bizleri uyarabilirsiniz).
Örnek 4'ün çözümü için öncelikle ilk üç örneği çözmek faydalı olacaktır. Birbirini götürmeli toplamlar (teleskopik toplam) oluşturulup küp toplamı ile ilgili olarak 13+23+...+n3 = n2.(n+1)2/4 formülü kullanılarak sonuca gidilir.
-
gönderdiğim word belgesinde bazı yazım yanlışlarım vardı. Hepsini düzeltip belgeyi güncellerim inş :) Örnek 4 ün doğru cevabı şu şekilde olacak:
-
ediz hocanın attığı soruyu düşünüyodum bu sekilde olabilirmi
f(x+y)=f(x+f(y)) sağlayan f fonksiyonlarıı bulun
f(0)=f(f(0)) yazabiliriz f(0)=c seklinde bir sabit dir ozamaman f(c)=c olduğuna gore c=0 olur f(0)=0
simdi y ile x i yerini değiştirince
f(x+f(y))=f(y+f(x)) yazabiliriz
eğer bu durumda içleri eşit olmalıdır x+f(y)=y+f(x) f(x)-f(y)/(x-y)=1 simdi x---y ye gore limit alırsak
f(x)=x+a olur f(0)=0 için f(x)=x bulunur ?
-
Listenin başındaki (Alper Çay hocamın gönderdiği) probleme 17 yıl önce genç yaşlarımda çözüm yazmışım, ancak görünüşe göre o dönemde süreklilik şartına benzer bir tür limit alma işlemi uygulamışım. Şimdi baktığımda bunu doğru bir yöntem olarak görmüyorum. (Bunun yanında önemli olmayan küçük bir kusur problemin kaynağı, 2005 Singapur değil de 2002 Singapur olacak. Ayrıca problem 2005'te Crux dergisinde de basıldığı için yılı karışmış olabilir.) Neyse, aradan geçen zamana bakınca bir tık yaşlandığımı hissettim ;D
Problem [2002 Singapur M.O.]: Aşağıda verilen şartları sağlayan tüm $f$ fonksiyonlarını bulunuz:
\[
f : \mathbb{Q} \to \mathbb{R}, \qquad
f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy \quad \text{ve} \quad f(1) = 2002.
\]
Çözüm: Fonksiyonel denklemin bir başka çözümü de $g$ fonksiyonu olsun. Yani $g(x + y) = g(x) + g(y) + 2xy$. Böylece, taraf tarafa çıkararak $f(x + y) - g(x + y) = f(x) - g(x) + f(y) - g(y) $ elde ederiz. $h = f - g$ fonksiyonunu tanımlarsak $$h(x + y) = h(x) + h(y)$$ Cauchy fonksiyonel denklemine ulaşırız. (Şurada (https://www.youtube.com/watch?v=_db-FRyZzC0&ab_channel=LGMath) bir video hazırladım). Tanım kümesi $\mathbb{Q}$ iken tüm çözümlerin $h(x) = cx$ biçiminde olduğunu biliyoruz. Ayrıca $g(x + y) = g(x) + g(y) + 2xy$ eşitliğini sağayan bir fonksiyon tahmin etmeye çalışırsak $g(x) = x^2$ için eşitliğin sağlandığını görebiliriz. Dolayısıyla $f(x) = g(x) + h(x)$ olup genel çözüm $f(x) = x^2 + cx$ olur. $f(1) = 2002$ koşuluna uygun olarak $c$ çözülürse $c=2001$ bulunur. Yani tek uygun çözüm $f(x) = x^2 + 2001x$ olur.