Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 2. Aşama => 2011 => Konuyu başlatan: geo - Ağustos 18, 2013, 11:23:37 öö
-
$|AB|=|AC|$ olan bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ nin orta noktası $D$ ve $D$ den $AC$ doğrusuna inilen dikmenin ayağı $E$ dir. $BE$ doğrusu $ABD$ üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez $F$ noktasında kesiyor. $DE$ ve $AF$ doğrularının kesişim noktası $G$ ise, $|DG|=|GE|$ olduğunu kanıtlayınız.
(Şahin Emrah)
-
Kaynak: http://geomania.org/forum/fantezi-cebir/2011-ilkogretim-olimpiyati-2-asama-sinavi/
-
Buraya resim gelecek
$\left|DG\right|=\left|GE\right|$ olduğunu göstermek istiyoruz. $\left|GE\right|$ yi $AEG$ dik üçgeninden Öklid'i kullanarak kolaylıkla hesaplayabiliyoruz: $\left|GE\right|^2=\left|GF\right|\cdot \left|GA\right|$.
$\left|DG\right|$ nin karesinin de bu ifadeye eşit olduğunu göstermek istiyoruz. $\left|DG\right|^2=\left|GF\right|\cdot \left|GA\right|$ olması için $\left|DG\right|$, çembere teğet olmalı. Çemberin merkezi $M$ olsun. Yani $\angle MDE=90^{\circ}$ olduğunu göstermeliyiz.
Üçgen ikizkenar ve $\left|BD\right|=\left|DC\right|$ olduğundan $\angle ADB =90^{\circ}$ olur. $\angle ADB =90^{\circ}$ olduğundan $\left|AB\right|$ çemberin çapı olur. Yani $M$, $\left|AB\right|$ nin orta noktasıdır. $M$ ve $D$ orta noktalar olduğundan $MD \| AC $ dir. Bu durumda $\angle MDB=\angle ECD$ olur. $\angle MDE=180^{\circ}-(\angle MDB+\angle CDE)=180^{\circ}-(\angle ECD+\angle CDE)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$.
Kaynak:
Serdar ADA
-
$DE$ doğrusu $(ABDF)$ çemberine ve $(AFE)$ çemberine teğet ise kuvvet ekseninden $DG=GE$ olduğu ortaya çıkar. Dolayısıyla bu teğetlikleri göstermek yeterlidir. $AF\perp EF$ ve $DE\perp AE$ olduğundan $DE$ teğettir $(AFE)$. Öte yandan $$\angle ACD=\angle ADE=\angle ABD$$ olduğundan $\angle DBF=\angle FDE$ olur, yani $DE$ teğettir $(ABDF)$ dir. Dolayısıyla $DG=GE$ olur.