Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise Takım Seçme => 1994 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ağustos 08, 2013, 03:53:26 ös
-
$\lim\limits_{i\to \infty }\dfrac{2^{n_{i}}}{3^{m_{i}}}=1$ olacak şekilde $n_{i}, m_{i}$ $(i=1,2,3\ldots )$ pozitif tamsayılarının bulunabileceğini gösteriniz.
-
Önce Analizde bilinen bir teoremi hatırlatalım.
Teorem: Her irrasyonel $a$ sayısı için ona yakınsayan ve her $i \in \mathbf N$ için $$\left | \dfrac {n_i}{m_i} - a \right | < \dfrac 1{m_i^2},$$ eşitsizliğini sağlayan $\left \{ \frac {n_i}{m_i} \right \}$, $i \geq 1$ bir rasyonel sayı dizisi vardır.
Teoremden dolayı, $$\lim\limits_{i\to \infty } \dfrac {n_i}{m_i} = \dfrac {\ln 3}{\ln 2}$$ eşitliğini sağlayan ver her $i$ için $$ \left | \dfrac {n_i}{m_i} - \dfrac {\ln 3}{\ln 2} \right | < \dfrac {1}{m_i^2} \tag{*}$$ özelliğine sahip bir rasyonel sayı dizisi $\left \{ \frac {n_i}{m_i} \right \}$ vardır. $(*)$ dan: $$\begin{array}{lcl}
|n_i \ln 2 - m_i \ln 3| < \dfrac {\ln 2}{m_i} & \Longleftrightarrow & |\ln 2^{n_i} - \ln 3^{m_i}| < \dfrac {\ln 2}{m_i} \\
& \Longleftrightarrow & \left| \ln \dfrac {2^{n_i}}{3^{m_i}} \right | < \dfrac {\ln 2}{q_i} \\
& \Longleftrightarrow & e^{- \frac {\ln 2}{m_i}} < \dfrac {2^{n_i}}{3^{m_i}} < e^{\frac {\ln 2}{m_i}}
\end{array}$$ elde edilir. $\lim\limits_{i\to \infty } e^{\pm \frac {\ln 2}{q_i}} = e^0 = 1$ olduğundan, Sandwich teoreminden $\lim\limits_{i\to \infty } \dfrac {2^{n_i}}{3^{m_i}} = 1$ olur.
Kaynak: Analiz ve Cebirde İlginç Olimpiyat Problemleri ve Çözümleri, 2003, Problem 3.43 Syf. 95-96.