Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Lise Takım Seçme => 1993 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ağustos 08, 2013, 02:45:01 ös

Başlık: Tübitak Lise Takım Seçme 1993 Soru 2
Gönderen: Lokman Gökçe - Ağustos 08, 2013, 02:45:01 ös

Dar açılı $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $M$ noktası olup, $(BMA)$ çemberi $BC$ kenarını $P$, $AC$ kenarını $Q$ noktasında kesiyor. Buna göre, $CM$ doğrusunun $PQ$ doğrusuna dik olduğunu ispatlayınız.

Başlık: Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 1993 Soru 2
Gönderen: gahiax - Ağustos 12, 2013, 01:14:08 öö

$M$ çevrel çemberin merkezi olduğundan $m(\widehat{BMA})= 2 m(\widehat{ACB})$ dir.$A-Q-M-P$ çembersel olduğundan

(http://geomania.org/forum/1993-77/2-3192/?action=dlattach;attach=13028;image)

$m(\widehat{AQP})= m(\widehat{BPA})= 2 m(\widehat{ACB})$ dir.Bu  durumda $\vert AP\vert=\vert PC\vert$  ve $ \vert BQ\vert=\vert QC\vert$ olur.
$M$ çevrel çemberin merkezi olduğundan $[OM\ \bot\vert BC\vert$ ve $[PM\ \bot\vert AC\vert$ olur .Bu durumda $M$ 
$QPC$ üçgeninin diklik merkezi olup $CM\bot PQ$ olur

Başlık: Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 1993 Soru 2
Gönderen: geo - Eylül 07, 2013, 03:56:50 ös

$$\angle BMC=2\cdot \angle BAC\Rightarrow \angle MCB={90}^{\circ }-\angle BAC.$$ $AQPB$ kirişler dörtgeninde $$\angle BPQ={180}^{\circ }-\angle QAB=\angle BAC$$ olacağından $$\angle QPC+\angle PCM=\angle BAC+{90}^{\circ }-\angle BAC={90}^{\circ }.$$

(http://geomania.org/forum/1993-77/2-3192/?action=dlattach;attach=13263;image)

Not:
Soru çok basit. Biraz terim kullanarak karmaşıklaştıralım. $AB$ ile $PQ$ doğruları anti-paraleldir. $ABC$ üçgeninde $CM$ doğrusu $C$ den geçen yüksekliğin izogonal eşleniğidir (isogonal conjugate). Bu durumda $CM$ doğrusu $CQP$ üçgeninde yüksekliktir.