Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise Takım Seçme => 1992 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ağustos 08, 2013, 02:41:17 ös
-
$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1}$ pozitif reel sayıları $$\dfrac{1}{1+x_{1}}+\dfrac{1}{1+x_{2}}+\ldots +\dfrac{1}{1+x_{n+1}}=1$$ koşulunu sağlıyorsa $$x_{1}x_{2}\ldots x_{n+1}\ge n^{n+1}$$ olduğunu gösteriniz.
-
$y_i=\dfrac{1}{1+x_i}$ dediğimizde soru $y_1+y_2+\dots +y_{n+1}=1$ ve $x_1x_2\dots x_{n+1}=\dfrac{1-y_1}{y_1}\dfrac{1-y_2}{y_2}\dots \dfrac{1-y_{n+1}}{y_{n+1}}\ge n^{n+1}$ şekline dönüştü. $$\dfrac{1-y_1}{y_1}\dfrac{1-y_2}{y_2}\dots \dfrac{1-y_{n+1}}{y_{n+1}}=\dfrac{\left(y_2+y_3+\dots y_{n+1}\right)}{y_1}\dfrac{\left(y_1+y_3+\dots y_{n+1}\right)}{y_2}\dots \dfrac{\left(y_1+y_2+\dots y_n\right)}{y_{n+1}}$$ olacaktır. $n$ terimli $y_i$ toplamları için $A.O\ge GO$ uygularsak; $$\dfrac{y_2+y_3+\dots y_{n+1}}{n}\ge \sqrt[n]{y_2y_3\dots y_{n+1}}\Rightarrow \dfrac{y_2+y_3+\dots y_{n+1}}{y_1}\ge \dfrac{n\sqrt[n]{y_2y_3\dots y_{n+1}}}{y_1}$$ elde ederiz. $n+1$ adet terim için $A.O\ge GO$ uyguladıktan sonra taraf tarafa çarparsak $$\dfrac{\left(y_2+y_3+\dots y_{n+1}\right)}{y_1}\dfrac{\left(y_1+y_3+\dots y_{n+1}\right)}{y_2}\dots \dfrac{\left(y_1+y_2+\dots y_n\right)}{y_{n+1}}\ge n^{n+1}\dfrac{y_1y_2\dots y_{n+1}}{y_1y_2\dots y_{n+1}}=n^{n+1}$$ elde edilir.
Eşitlik durumu $y_1=y_2=\dots =y_{n+1}\Rightarrow x_1=x_2=\dots =x_{n+1}$ olduğunda elde edilir.