Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise Takım Seçme => 1989 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ağustos 08, 2013, 01:41:48 ös
-
Elimizde her biri pozitif bir tamsayı ağırlığından $n$ ($n>2$) tane ağırlık vardır. Bunlardan her birinin ağırlığı $n$'den küçük olduğu gibi, toplam ağırlıkları da $2n$'den küçüktür. Bu ağırlıkların, toplam ağırlığı $n$'ye eşit bir altkümesinin bulunduğunu kanıtlayınız.
-
Terimlerin karışmaması için ağırlık yerine taş diyelim. Taşların ağırlıkları $0<a_1\leq a_2\leq \cdots\leq a_n<n$ olsun. Bu ağırlıklara denk gelen taşları da $A_1,A_2,\dots, A_n$ olarak isimlendirelim. $$S_k=\sum_{m=1}^{k} a_m$$ olarak tanımlarsak, $0<S_1<S_2<\cdots<S_n<2n$ artan dizisini elde etmiş oluruz. Eğer bu sayılardan biri $n$'ye bölünüyorsa, $n\mid S_k$'dan ve $0<S_k<2n$ eşitsizliğinden $n=S_k$ olduğunu buluruz. Böylece $\{A_1,A_2,\dots,A_k\}$ kümesindeki taşların ağırlıkları toplamı $n$ olduğunu göstermiş oluruz.
Eğer $S_k$'ların hiçbiri $n$ ile bölünmüyorsa, bu sayıların $n$'ye bölündüğündeki kalanları $1,2,\dots, n-1$ olabilir ancak $n$ tane $S_k$ olduğundan güvercin yuvası ilkesi gereği $S_i\equiv S_j\pmod{n}$ olacak şekilde $0<i<j\leq n$ tamsayıları olmalıdır. Buradan $n\mid S_j-S_i$ ve yukarıdakine benzer şekilde $S_j-S_i=n$ elde edilir. Yani $\{A_{i+1},A_{i+2},\dots, A_j\}$ taşlarının ağırlıkları toplamı tam olarak $n$ olmalıdır. Her durumda ağırlıkları toplamı $n$ olan taşlar bulabildiğimizden ispat biter.