$c_{1}$ in merkezi $O_{1}$, $c_{2}$ nin merkezi $O_{2}$ olsun. $O_{1}O_{2}$ nin orta noktası $M$, $P_{1}P_{2}$ nin orta noktası $P$ olsun. $A_{1}O_{1}\bigcap A_{2}O_{2}=K$ diyelim.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=3167.0;attach=13367;image)
$\angle A_{2}KA_{1}$ sabittir. Son olarak $O_{1}A_{1}\bigcap A_{2}P_{2}=L$ ve $O_{1}P_{1}\bigcap O_{2}P_{2}=T$ diyelim. Açılar yazılınca $\angle A_{2}KL=\angle O_{1}TO_{2}$ olduğu görülür. $c_{1}$ in yarıçapına $r_{1}$, $c_{2}$ nin yarıçapına $r_{2}$, $P_{1}O_{2}$ nin orta noktasına $N$ dersek, $MN=r_{1}/2$, $PN=r_{2}/2$ olur. $PN\Vert P_{2}O_{2}$ ve $MN\Vert O_{1}P_{1}$ olduğundan $\angle YTO_{1}=\angle PNM$ olur. $PN$, $MN$ ve $\angle PNM$ değerleri sabit olduğundan $PM$ de sabittir. O zaman $P_{1}P_{2}$ nin orta noktasının geometrik yeri, merkezi $O_{1}O_{2}$ nin orta noktası olan ve $P_{1}P_{2}$ nin orta noktasından geçen çemberdir.