Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise Takım Seçme => 1989 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ağustos 08, 2013, 01:40:05 ös
-
Sıfırdan farklı bir rakamla başlayan bir rakam blokunun art arda iki kez tekrarından oluşan pozitif tamsayılara "çift tekrarlı sayı" diyeceğiz (Örneğin $360360$ "çift tekrarlı" bir sayı olup, $36036$ değildir). Bir tamsayının karesine eşit olan sonsuz sayıda "çift tekrarlı" sayı bulunduğunu kanıtlayınız.
-
$i=1,2,\dots, n$ için $a_i$'ler birer rakam olsun ($a_1\neq 0$). $A^2=a_1a_2a_3\cdots a_n a_1a_2a_3\cdots a_n$ olsun. Bu formatta sonsuz tane $A$ olduğunu göstermeye çalışıyoruz. Sayıyı düzenlersek $$a_1a_2a_3\cdots a_n a_1a_2a_3\cdots a_n=a_1a_2a_3\cdots a_n \cdot (10^{n}+1)$$ olur. Özel olarak $n$'yi $11$'in katı olan bir tek sayı seçelim. $v_{11}(m)$'yi $m$'i bölen en büyük $11$ kuvvetinin üssü olarak tanımlayalım. Kuvvet Kaydırma teoreminden (LTE), $$v_{11}\left(10^n+1\right)=v_{11}(10+1)+v_{11}(n)=1+v_{11}(n)\geq 2$$ olur, yani $\frac{10^n+1}{11^2}$ tamsayıdır. $$10^{n-3}<\dfrac{10^n+1}{11^2}< 10^{n-2}\tag{1}$$ olduğundan $\frac{10^n+1}{11^2}$ sayısı $n-2$ basamaklıdır. $\frac{10^n+1}{11^2}$ sayısının sonuna iki adet $0$ ekleyelim ve oluşan $n$ basamaklı sayıyı $a_1a_2\cdots a_n$ olarak seçelim. $$a_1a_2a_3\cdots a_n \cdot (10^{n}+1)=\frac{(10^n+1)^2}{11^2}\cdot 10^{2}$$ olur yani sayı tamkare olacaktır. Dolayısıyla sonsuz tane bu formatta tamkare vardır.
Not: $(1)$ eşitsizliğinin $11^2=10^2+2\cdot 10+1$ yazıldığında oldukça kolay olduğu görülebilir.