Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 2. Aşama => 1988 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ağustos 07, 2013, 07:38:06 ös
-
Ardışık üç pozitif tamsayının çarpımının hiçbir zaman bir tamsayının birden büyük bir kuvvetine eşit olamayacağını gösteriniz.
-
Sayıları $ n,n+1 $ ve $n+2 $ ile gösterelim ve varsayalım ki bu sayıların çarpımı bir tam kuvvete eşit olsun.Ardışık sayılar aralarında asal olduklarından $(n,n+1)=(n+1,n+2)=1 $ ve dolayısıyla $(n+1,n(n+2))=1 $ dir.Sayıların çarpımı tam kuvvete eşit olacağından $n+1$ ve $n(n+2)$ sayıları tam kuvvete eşit olmalıdır.
$n+1=a^m$ ve $n(n+2)=b^m$ , $(a,b,m \in Z,m\geq2)$ olsun.
$(a^2)^m-b^m=(n+1)^2-n(n+2)^2=1$ veya $a^2=t$ dersek
$t^m-b^m=1$ elde edilir.Ancak pozitif iki tam kuvvetin farkı daima $1$ den büyük olacağından bu mümkün değildir.O halde ardışık üç tam sayının çarpımı tam kuvvet olamaz.