Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 2. Aşama => 1992 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ağustos 07, 2013, 07:11:59 ös
-
$$\begin{array}{rcl} x^2 + y^2 + z^2 &=& 361 \\ \dfrac 1x + \dfrac 1y + \dfrac 1z &=& 0 \\ x-y+z &=& 11 \end{array}$$ denklemlerinin tüm $(x,y,z)$ reel çözümlerini bulunuz.
-
(Lokman GÖKÇE)
$xyz \neq 0$ olduğundan ikinci denklemi $xy + yz + zx = 0$ şeklinde yazabiliriz. $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$ tam kare özdeşliğinden $(x+y+z)^2=361=19^2$ olur. Problemi iki durumda inceleyelim:
1. Durum: $x+y+z = 19$ olsun. $x-y+z = 11$ denkleminden $y=4$ ve $x+z=15$ bulunur. Bu değerleri $y(x+z) + xz = 0$ denkleminde yazarsak $xz =-60$ bulunur. Dolayısıyla kökleri $x$ ve $z$ olan ikinci dereceden denklem $t^2 - 15t -60=0$ dır. Bu denklemi çözersek kökler $\dfrac12 (15 \pm \sqrt{465})$ bulunur. $x$ ile $z$ yer değiştirebildiği için iki tane $(x,y,z)$ çözüm üçlüsü elde edilir. Bunlar $\left( \dfrac12 (15 + \sqrt{465}), 4, \dfrac12 (15 - \sqrt{465}) \right) $ ve $\left( \dfrac12 (15 - \sqrt{465}), 4, \dfrac12 (15 + \sqrt{465}) \right) $
2. Durum: $x+y+z = -19$ olsun. $x-y+z = 11$ denkleminden $y=-15$ ve $x+z = - 4$ bulunur. Bu değerleri $y(x+z) + xz = 0$ denkleminde yazarsak $xz =-60$ olur. Dolayısıyla kökleri $x$ ve $z$ olan ikinci dereceden denklem $t^2 +4 t -60=0$ dır. Bu denklemi çözersek kökler $-10$ ve $6$ bulunur. Buradan elde edilen $(x,y,z)$ çözüm üçlüleri $(-10, -15, 6)$ ve $(6, -15, -10)$ olur.
Sonuç olarak denklem sisteminin $4$ tane çözüm reel üçlüsü vardır.