Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Lise 2. Aşama => 2010 => Konuyu başlatan: geo - Ağustos 06, 2013, 03:45:08 öö

Başlık: Tübitak Lise 2. Aşama 2010 Soru 4
Gönderen: geo - Ağustos 06, 2013, 03:45:08 öö

$A$ ve $B$ noktaları $[CD]$ çaplı çemberin üstünde ve $CD$ doğrusunun farklı yanlarında bulunuyor. $C$ ve $D$ noktalarından geçen bir $\Gamma $ çemberi $[AC]$ yi uçlarından farklı bir $E$ noktasında, $[BC]$ yi de $F$ noktasında kesiyor. $E$ noktasında $ \Gamma $ çemberine teğet olan doğru ile $BC$ doğrusunun kesiştiği nokta $P$ olmak üzere; $Q$ noktası, $\vert QP\vert =|EP|$ koşulunu sağlayan ve $CEP$ üçgenin çevrel çemberi üstünde yer alan $E$ den farklı bir nokta olsun. $AB\cap EF=\lbrace R\rbrace $ ve $|EQ|$ nun orta noktası $S$ ise, $DR$ ve $PS$ doğrularının paralel olduğunu gösteriniz.

(Şahin Emrah)

Başlık: Ynt: 4
Gönderen: bvarici - Ağustos 18, 2013, 06:52:47 ös

Çözüm ektedir.

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 2. Aşama 2010 Soru 4 - Tashih edildi
Gönderen: geo - Ağustos 21, 2013, 08:24:53 ös

(Burak VARICI)

Öncelikle $Q,E,F$'nin doğrusallığını gösterelim. $Q,E,C,P$ çembersel olduğundan $\angle PEQ=\angle PQE=\angle ECF$ ve $PE$ doğrusu $\Gamma $ çemberine teğet olduğu için $\angle ECF=\angle FEX$. Dolayısıyla $Q,E,F$ noktaları doğrusaldır.

$PS\bot QF$ olduğunu biliyoruz. O halde $DR\bot QF$ olduğunu göstermeliyiz. $\Gamma $ çemberinden dolayı $\angle RFD=\angle ACD=\angle ABD$. Bu nedenle $R,B,D,F$ noktaları çemberseldir. $CD$ çap olduğu için $\angle DBC=\angle DBF=\angle DRF={90}^\circ$. $DR\bot QF\ \Rightarrow DR\parallel PS$.

(http://geomania.org/forum/2010-32/4-3130/?action=dlattach;attach=13214;image)

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 2. Aşama 2010 Soru 4
Gönderen: geo - Ağustos 21, 2013, 08:26:45 ös

(Burak VARICI)

$AB$ , $D$ noktasına göre $FCE$ üçgeninin Simson doğrusudur. O halde $DR$ doğrusu $EF$'ye diktir. $PE$ ışını üzerinde $E$'den sonra gelen bir $X$ noktası için $\angle QEP=\angle EQP=\angle ECF=\angle XEF$. Bu nedenle $Q,E,F$ noktaları doğrusaldır. $PS$, $EQ$'ya diktir ve dolayısıyla $DR$'ye paraleldir.

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 2. Aşama 2010 Soru 4
Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Ekim 23, 2024, 10:48:40 ös

$A$, $D$, $E$  ve $R$  noktalarının çembersel olduğunu gösterelim.
$$\angle PQC=\angle PEC=\angle CFD=\angle CDE \quad \text{ve} \quad \angle CBA=CBD$$
olduğundan $\angle ARE=ADE$  elde edilir, dolayısıyla $A$, $D$, $E$  ve $R$  noktaları ortak bir çember üzerindedir. $CD$  kirişi çap olduğundan $\angle DRE=180^{\circ}-\angle CAD =90^{\circ}=\angle PSR\Longleftrightarrow DR\parallel PS$  şeklinde istenen paralelliğe ulaşılır.