Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 2. Aşama => 2009 => Konuyu başlatan: geo - Ağustos 06, 2013, 03:43:04 öö
-
$\Gamma $, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi; $D$ ve $E$ de, sırasıyla $[AB]$ ve $[AC]$ kenarları üstünde köşelerden farklı noktalar olsun. $A'$, $\widehat{BAC}$ nin açıortayının $\Gamma $ yı ikinci kez kestiği nokta; $P$ ve $Q$ da, sırasıyla $A'D$ ve $A'E$ doğrularının $\Gamma $ yı ikinci kez kestiği noktalar olsun. $R$ ve $S$ sırasıyla $APD$ ve $AQE$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin $AA'$ doğrusunu ikinci kez kestikleri noktalar ise; $DS$ ve $ER$ doğrularının, $\Gamma$ ya $A$ da teğet olan doğru üstünde bir noktada kestiğini gösteriniz.
(Serhat Doğan)
-
(Eren DURLANIK)
LEMMA:
$x,\ y,\ z,\ t$ pozitif açıları $x+y=z+t<180$ ve $\dfrac{\sin\ x}{\sin\ y}=\dfrac{\sin\ z}{\sin\ t}$ şartını sağlıyor ise;$x=z$ ve $y=t$ olmalıdır.
İSPAT:
Eşitlikten ötürü $\sin\ x.\sin\ t=\sin\ y.\sin\ z$ dir. Öyleyse açı formüllerinden ötürü $cos(x-t)-cos(x+t)=cos(y-z)-cos(y+z)$ sağlanır. Ayrıca $x-t=z-y$ olduğundan $cos(x-t)=cos(y-z)$ ve dolayısıyla $cos(x+t)-cos(y+z)=0$ olur.
Öyleyse; $2\ \sin\left(\dfrac{x+t-y-z}{2}\right)\sin(\dfrac{x+y+z+t}{2})=0$ dır. $\dfrac{x+y+z+t}{2}<180$ olduğundan $\sin(\dfrac{x+y+z+t}{2})\ne 0$ yani $\sin(\dfrac{x+t-y-z}{2})=0$ olmalıdır. Öyleyse $x+t=y+z$ olmalı ve $x+y=z+t$ olduğundan; $x=z$ ve $y=t$ sağlanmalıdır, Lemma ispatlandı.
Şimdi sorumuza dönelim.
$A,\ Q,\ S,\ E$ çembersel olduğundan $\angle SQE=\dfrac{A}{2}$ dır. Ayrıca $A,Q,A',B$ noktaları da çembersel olduğundan $\angle BQE=\dfrac{A}{2}$ olmalıdır. Dolayısıyla $Q,S,B$ doğrusaldır, aynı şekilde $P,R,C$ noktaları da doğrusaldır. Çembersellikten $\angle AQB=\angle ACB=\angle AES=C$ dir. Yani $SE\parallel BC$ ve aynı şekilde $DR\parallel BC$ bulunur.
$ABC$ üçgeninin çevrel çemberine $A$ noktasından çizilen teğetle $ER$ doğrusu $M$ noktasında kesişsin. $M$, $S$ ve $D$ noktalarının doğrusal olduğunu göstermemiz yeterlidir. $\angle SER=\angle QRM=\alpha$ olsun. $ARM$ üçgeninde $D$ noktasına göre ve $AEM$ üçgeninde $S$ noktasına göre Trigonometrik Ceva yaparsak:
$\dfrac{\sin(\angle AMD)}{\sin(\angle DMR)}=\dfrac{\sin\ C.\sin\ (C+\dfrac{A}{2})}{\sin\ \dfrac{A}{2}.\ \ \sin\ \alpha}$ ve $\dfrac{\sin\ (\angle SMA)}{\sin\ (\angle SMR)}=\dfrac{\sin\ C.\sin\ (C+\dfrac{A}{2})}{\sin\ \dfrac{A}{2}.\ \ \sin\ \alpha}$ bulunur. Buradan $\dfrac{\sin(\angle AMD)}{\sin(\angle DMR)}=\dfrac{\sin\ (\angle SMA)}{\sin\ (\angle SMR)}$ elde edilir. $\angle AMD+\angle DMR=\angle SMA+\angle SMR$ olduğundan Lemma'dan ötürü $\angle AMD=\angle SMA$ ve $\angle DMR=\angle SMR$ bulunur.
Yani $M,\ S$ ve $D$ noktaları doğrusal olur ve ispat tamamlanır.