Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 2. Aşama => 2007 => Konuyu başlatan: geo - Ağustos 06, 2013, 03:40:19 öö
-
$k>1$ bir sayı, $p=6k+1$ bir asal sayı ve $m=2^{p}-1$ olmak üzere, $$\dfrac{2^{m-1}-1}{127m}$$ sayısının bir tam sayı olduğunu gösteriniz.
(Şahin Emrah)
-
(Mathematist)
$k>1$ olduğundan $p\ne 7$ öncelikle $128\equiv 2^{7} \equiv 1 \pmod {127}$ olduğundan $der_{127} 2=7$ olduğunu söyleyebiliriz. Diğer taraftan $127$ bir asal sayıdır ve dolayısıyla:
$$(127,m)>1\Leftrightarrow 127|m\Leftrightarrow 127|2^{p} -1\Leftrightarrow 2^{p} \equiv 1 \pmod {127}\Leftrightarrow 7|p$$
bulunur ki bu $p>7$ olduğundan mümkün değil.
$\Rightarrow (127,m)=1$. Dolayısıyla ayrı ayrı $m|2^{m-1} -1$ ve $127|2^{m-1} -1$ olduğunu ispatlamamız yeterlidir.
$127|2^{m-1} -1\Leftrightarrow 2^{m-1} \equiv 1 \pmod {127} \Leftrightarrow 7|m-1\Leftrightarrow 7|2^{0} -2\Leftrightarrow 2^{p-1} \equiv 1 \pmod 7$ bulunur. Diğer taraftan $2^{6} \equiv 1 \pmod 7$ ve $6|p-1$ olduğundan $2^{p-1} \equiv 1 \pmod 7$ ve de $127|2^{m-1} -1$ doğrudur.
Ayrıca $m=2^{p} -1|2^{m-1} -1$ olduğunu ispatlamak için, $p|m-1$ olduğunu göstermek yeterlidir, çünkü böylece $m-1=pt$ olur ve $2^{m-1} -1=(2^{p} -1)(2^{p.(t-1)} +2^{p.(t-2)} +\dots+1)$ şeklinde yazılabilir.
Diğer taraftan $2^{p} \equiv 2 \pmod p \Leftrightarrow m\equiv 2^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ denkliği Küçük Fermat Teoremi'nden sağlanır, ispat biter.