Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 2. Aşama => 2007 => Konuyu başlatan: geo - Ağustos 06, 2013, 03:40:04 öö
-
$a+b+c=3$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b,c>0$ gerçel sayıları için, $$\dfrac{a^{2}+3b^{2}}{ab^{2}(4-ab)}+\dfrac{b^{2}+3c^{2}}{bc^{2}(4-bc)}+\dfrac{c^{2}+3a^{2}}{ca^{2}(4-ca)}\ge 4$$ olduğunu gösteriniz.
(Refail Alizade)
-
(Mathematist)
$$\sum\limits_{cyc}\dfrac{a^{2} +3b^{2} }{ab^{2} (4-ab)} \ge A.G.O.\ge \sum\limits_{cyc}\dfrac{2b^{2} +2ab}{ab^{2} (4-ab)} =2\sum\limits_{cyc}\dfrac{a+b}{ab(4-ab)}$$ $$\ge \sum\limits_{cyc}\dfrac{4\sqrt{ab} }{ab(4-ab)}=4\sum\limits_{cyc}\dfrac{1}{(2-\sqrt{ab} )(2+\sqrt{ab)} \sqrt{ab} } $$
Diğer taraftan, $(\sqrt{ab} -1)^{2} \ge 0$ olduğundan, $\sqrt{ab} (2-\sqrt{ab} )\le 1$ sağlanır. Bunu yerine yazarsak:
$$4\sum\limits_{cyc}\dfrac{1}{\sqrt{ab} (2-\sqrt{ab} )(2+\sqrt{ab} )} \ge 4\sum\limits_{cyc}\dfrac{1}{2+\sqrt{ab} } \ge Cauchy-Schwarz $$ $$\ge 4\dfrac{(1+1+1)^{2} }{(2+\sqrt{ab} )+(2+\sqrt{ab} )+(2+\sqrt{ac} )} =\dfrac{36}{6+\sum\limits_{cyc}\sqrt{ab} } $$ bulunur.
Son olarak, $\sum\limits_{cyc}\sqrt{ab} \le AGO\le \sum\limits_{cyc}\dfrac{a+b}{2} =3$ olduğundan, $\dfrac{36}{6+\sum\limits_{cyc}\sqrt{ab} } \ge 4$ sağlanır.
Sonuç olarak, $\sum\limits_{cyc}\dfrac{a^{2} +3b^{2} }{ab^{2} (4-ab)} \ge \dfrac{36}{6+\sum\limits_{cyc}\sqrt{ab} } \ge 4$ bulunur, ispat biter.
Not:
Çözümde kullanılan eşitsizlik literatürde Bergström Eşitsizliği (Cauchy Schwarz'ın farklı bir versiyonu) olarak bilinir.