$AC=b$ ve $\angle BAC=2\alpha$ olsun. $AC=b\cdot {\cos 2\alpha\ }$ olacaktır.
İster $BC_1B_1C$ kirişler dörtgeni olduğu için $(A.A)$ dan, ister $AB_1=c\cdot {\cos 2\alpha\ }$ eşitliğinden dolayı $\left(K.A.K\right)$ dan $\triangle AB_1C_1\sim \triangle ABC$ olacaktır. Benzerlik oranı ${\cos 2\alpha\ }$ dır.
(http://geomania.org/forum/2006-36/5-3105/?action=dlattach;attach=13142;image)
Benzer üçgenlerin, açıortayları da benzer olacağından $\dfrac{AO_A}{AI}={\cos 2\alpha\ }$ olur.
$T_C$ den $AI$ ya inilen dikmenin ayağı $M$ ve $IT_C=r$ olsun. $\angle MT_CI=\alpha$ olacağı için
$MI=r\cdot {\sin \alpha\ }$, $MT_C=r\cdot {\cos \alpha\ }$ ve $AM=r\cdot \dfrac{{{\cos }^{{\rm 2}} \alpha\ }}{{\sin \alpha\ }}$ olacaktır. Diğer taraftan, $\triangle AT_CI$ üçgeninde $AI=\dfrac{r}{{\sin \alpha\ }}$ , dolayısıyla da $AO_A=r\cdot \dfrac{{\cos 2\alpha\ }}{{\sin \alpha\ }}$ olacaktır.
$$AM-MI=r\cdot \dfrac{{{\cos }^{{\rm 2}} \alpha\ }}{{\sin \alpha\ }}-r\cdot {\sin \alpha\ }=r\cdot \dfrac{{{\cos }^2 \alpha\ }-{{\sin }^2 \alpha\ }}{{\sin \alpha\ }}=r\cdot \dfrac{{\cos 2\alpha\ }}{{\sin \alpha\ }}=AO_A$$
olduğu için
$$AM=MI+AO_A=MO_A+AO_A\Rightarrow O_AM=MI\Rightarrow O_AT_C=T_CI=r$$
elde edilir. Diğer uzunluklar için de aynı şeyleri yaptığımızda $T_AO_CT_BO_AT_CO_B$ altıgeninin tüm kenarlarının $r$ ye eşit olduğu görülür.