Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 2. Aşama => 2003 => Konuyu başlatan: geo - Ağustos 06, 2013, 03:31:49 öö
-
$n\ge 2$ arabanın katıldığı bir yarışta, $1$ den $n$ ye kadar numaralanmış arabalar, başlangıç noktasından numara sırasına göre belli aralıklarla ayrılıyor. Yarış boyunca bir araba bir başkasını en çok bir kez geçiyor ve her araba toplam olarak aynı sayıda araba tarafından geçiliyor. Ayrıca herhangi farklı iki arabanın yarış boyunca geçtikleri arabaların sayıları birbirinden farklı olup, arabalar bitiş noktasına farklı zamanlarda varıyor. $n$ nin bu durumu olanaklı kılan tüm değerlerini bulunuz.
-
(Burak VARICI, Mehmet Efe AKENGİN)
Tüm $n\ge 3$ tek tamsayıları bu durumu olanaklı kılar.
Arabalara $A_{1} ,A_{2} ,..,A_{n} $ diyelim ve $A_{i} $ yarışa $i.$ sırada başlamış olsun. $1\le i\le n$ için $A_{i} $ yarışı $x_{i} .$sırada bitirmiş olsun ve $k_{i} $ farklı arabayı geçmiş olsun. Herhangi arabanın geçildiği araba sayısına $k$ diyelim.
$1\le i\le n$ için $k_{i} $ ler farklı ve 0 dan büyük eşit olduğundan öyle $j$ var ki $k_{j} \ge n-1$. Diğer taraftan bir araba başka bir arabayı en fazla 1 kez geçebileceği için, $k_{j} \le n-1$. Dolayısıyla $k_{j} =n-1$ olur ve eşitlik durumunun sağlanması için $(k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n})$, $(0,1,\dots,n)$ in bir permütasyonu olmalıdır.
Geçme ve geçilme sayıları eşittir ve her araba $k$ kez geçilmiştir. Bu nedenle: $nk=0+1+\dots+n-1=\frac{n(n-1)}{2} {\rm \; }\Rightarrow {\rm \; }k=\frac{n-1}{2} \in {\mathbb Z}^{+} $, demek ki $n$ tek tamsayı olmalıdır.
Şimdi her $n\ge 3$ tek tamsayısı için böyle bir yarışın mümkün olduğunu ispatlayalım.$A_{i_{1} } \to A_{i_{2} } \to \dots\to A_{i_{n} } $ ile , $A_{1} ,A_{2} ,..,A_{n} $ arabalarının yarış sırasındaki pozisyonlarını gösterelim öyle ki $i_{n} $ en önde ve $i_{1} $ en arkada olsun. Örneği şöyle kuracağız:
Yarışa $A_{n} \to A_{n-1} \to \dots\to A_{1} $ şeklinde başlanmış olsun. Önce $A_{\frac{n+3}{2} } ,{\rm \; }A_{\frac{n+1}{2} } $ ile $A_{\frac{n-1}{2} } $i arasına, ardından $A_{\frac{n+5}{2} } ,{\rm \; }A_{\frac{n-1}{2} } $ ile $A_{\frac{n-3}{2} } $ arasına, ardından $\dots$, son olarak benzer şekilde $A_{n} $ aracı $A_{1} $ ile $A_{2} $ arasına yerleşsin.
Böylece $1\le k\le \frac{n-1}{2}$ için $A_{\frac{n+1}{2} +k} $ aracı $2k-1$ araç geçmiş olur. $1\le k\le \frac{n-1}{2}$ için $A_{k} $ aracı da $k-1$ kez geçilmiş olur. Yine $0\le k\le \frac{n+1}{2}$ için $A_{n-k} $ aracı $k$ kez geçilmiş olur ve şu durum elde edilir:
$$A_{\frac{n+1}{2} } \to A_{\frac{n+3}{2} } \to A_{\frac{n-1}{2} } \to A_{\frac{n+5}{2} } \to \dots\to A_{2} \to A_{n} \to A_{1} .$$ Son olarak sırasıyla, $A_{\frac{n+1}{2} } $ aracı tüm araçları ; $A_{\frac{n-1}{2} } $ aracı $A_{\frac{n+1}{2} } $ dışındaki araçları ; $A_{\frac{n-3}{2} } $ aracı $A_{\frac{n+1}{2} } $ ve $A_{\frac{n-1}{2} } $ aracı dışındaki araçları ; $\dots$ ; $A_{2} $ aracı da sadece $A_{n} $ ve $A_{1} $ araçlarını geçsin:
$$A_{\frac{n+3}{2} } \to A_{\frac{n+5}{2} } \to \dots\to A_{n} \to A_{1} \to A_{2} \to \dots\to A_{\frac{n+1}{2} } $$ Yukarıdaki sıralama sağlanır ve arabalar yarışı bu sırayla bitirirler. Bu durumda $(1\le k\le \frac{n-1}{2} )$ için $A_{k} $ aracı $\frac{n-1}{2} +k+1$ kez geçilmiş olur. $A_{n-k} $ aracı da $\frac{n-1}{2} -k$ kez geçilmiş olur. $A_{k} $ aracı da $2k-2$ araç geçmiş olur. Sonuç olarak her araç toplamda $\frac{n-1}{2} $ kez geçilir ve $A_{k} $ ile $A_{\frac{n+1}{2} +k} $ araçları da hep birbirinden farklı sayıda (tek ve çift) araç geçer. Örnek sorudaki şartı sağlar.
O halde cevap ''$n$ tek'' tir.
-
Çözüm doğru Mehmet Efe ve Burak'ın ellerine sağlık.
Birkaç küçük düzenleme yapılmış halini yeniden gönderiyorum:
Çözüm düzeltildi.