Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Lise 2. Aşama => 1996 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ağustos 06, 2013, 03:31:10 öö

Başlık: Tübitak Lise 2. Aşama 1996 Soru 4
Gönderen: Lokman Gökçe - Ağustos 06, 2013, 03:31:10 öö

Bir $ABCD$ dörtgeninin $[AD]$, $[DC]$ ve $[CB]$ kenarlarına teğet olan çemberin değme noktaları sırasıyla $K$, $L$, $M$ ile gösteriliyor. $L$ noktasından geçen ve $AD$ doğrusuna paralel olan doğrunun; $[KM]$ nı kestiği nokta $N$ ve $[LN]$ ile $[KC]$ nın kesiştiği nokta $P$ ise, $$|PL| =|PN|$$ olduğunu ispatlayınız.

Başlık: Ynt: 4 - Tashih edildi
Gönderen: geo - Ağustos 15, 2013, 08:07:34 öö

$KM$ üzerinde $CQ\parallel LN\parallel DK$ olacak şekilde $Q$ noktası alalım. $\angle DKM=\angle CMK$ olduğu aşikar (Değilse doğruları uzatın, ikizkenar üçgeni görün.).

(http://geomania.org/forum/1996-45/4-3063/?action=dlattach;attach=13150;image)

$CQ\parallel DK$ olduğu için $\angle DKM=\angle CQM=\angle CMQ$ olacağından $CM=CQ$ olur.

$DK=DL=a$ ve $LC=CM=CQ=b$ olsun. $CDK$ ve $CKQ$ üçgenlerinde paralelliğin gerektirdiği benzerlikleri yazarsak $\dfrac{PL}{DK}=\dfrac{LC}{DL}\Rightarrow \dfrac{PL}{a}=\dfrac{b}{a+b}\Rightarrow PL=\dfrac{ab}{a+b}$ ve 

$\dfrac{PN}{CQ}=\dfrac{KN}{KQ}=\dfrac{DL}{DC}\Rightarrow \dfrac{PN}{b}=\dfrac{a}{a+b}\Rightarrow PN=\dfrac{ab}{a+b}$ olur.