Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Lise 2. Aşama => 2002 => Konuyu başlatan: geo - Ağustos 06, 2013, 03:30:07 öö

Başlık: Tübitak Lise 2. Aşama 2002 Soru 2
Gönderen: geo - Ağustos 06, 2013, 03:30:07 öö

Bir $A$ noktasında dıştan teğet olan iki çember, bir $\Gamma $ çemberine $B$ ve $C$ noktalarında içten teğettir. $\Gamma $ çemberinin küçük çemberlere $A$ noktasında teğet olan kirişinin orta noktası $D$ dir. Çemberlerin merkezleri doğrudaş değilse, $BCD$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezinin $A$ olduğunu gösteriniz.

Başlık: Ynt: 2 - Tashih edildi
Gönderen: geo - Ağustos 06, 2013, 03:56:40 öö

$\Gamma$ çemberinin $B$ ve $C$ noktalarındaki teğetleri $P$ de kesişsin. $OP$ çaplı çember, $B$, $C$ ve $D$ noktalarından geçeceği için $O,B,C,D$ noktaları çemberseldir. Bu durumda $\angle BDP=\angle BOP=\angle POC=\angle PDC$ olduğu için, $DA$ doğrusu $BCD$ üçgeninde bir iç açıortaydır.

(http://geomania.org/forum/2002-40/2-3057/?action=dlattach;attach=12954;image)

$PD$ doğrusu çemberi şekildeki gibi $Q$ ve $R$ noktalarında kessin.
$2\cdot \angle BRC=\angle BOC=\angle BDC\Rightarrow \angle QDC=\angle BRC$ ve $\angle BRQ=\angle QCB\Rightarrow \angle QDC=\angle QCB+\angle QRC=\angle DCR+\angle QRC\Rightarrow \angle DCR=\angle BCQ$ elde edilir. Bu durumda $CA$ nın $\angle BCD$ nin açıortayı olması için $CA$ nın $\angle QCR$ nin açıortayı olması gerekir. Bu da aslında bilindik bir problem. İspatlayalım.

$CQ$ ile $CR$, çemberi sırasıyla $Y$ ve $X$ noktalarında kessin.

(http://geomania.org/forum/2002-40/2-3057/?action=dlattach;attach=12956;image)

Teğet-Kiriş açıların eşitliğinden $\angle PRC=\angle QCP=\angle YXC$ olduğu için $XY\parallel RQ$ elde ettik. Bu durumda $\angle ACX=\angle RAX=\angle AXY=\angle ACY$ olur ki, bu da $CA$ nın $\angle QCR$ nin açıortayı olduğu anlamına gelir.

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 2. Aşama 2002 Soru 2
Gönderen: ERhan ERdoğan - Eylül 07, 2013, 04:58:20 ös

(http://geomania.org/forum/2002-40/2-3057/?action=dlattach;attach=13278;image)

$BA$ ve $CA$ nın çemberi kestiği noktalar sırasıyla $P$ ve $R$ olsun. $P$ ve $R$ noktaları kirişin ayırdığı yayların orta noktalarıdır. *
Buradan $\left[RP\right]$ çap olup $D$ noktasında kirişe diktir ( $P-D-R$ doğrusal noktalardır ) . $\left[RP\right]$ çap olduğundan $m\left ( \widehat{RPB} \right )=90^{\circ}$ ve $m\left ( \widehat{PCR} \right )=90^{\circ}$ olur. Diğer taraftan $\left[AD\right] \perp \left[RP\right]$ bulunduğundan $ABRD$ ile $ACPD$ dörtgenleri birer kirişler dörtgenidir. $O$ merkezli çembere göre; $m\left ( \widehat{BCR} \right )=m\left ( \widehat{BPR} \right )$ ve $m\left ( \widehat{CBP} \right )=m\left ( \widehat{CRP} \right )$ , $ACPD$ ve $ABRD$ dörtgenlerine göre de $m\left ( \widehat{ACD} \right )=m\left ( \widehat{APD} \right )$ ve $m\left ( \widehat{ABD} \right )=m\left ( \widehat{ARD} \right )$ olup $AB$ ve $AD$, $BDC$ üçgeni için birer iç açıortay olduğundan $A$ iç merkezdir. 

* ispatı : burada (http://geomania.org/forum/fantezi-geometri/1992-imo-shortlist/)