Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Lise 2. Aşama => 2001 => Konuyu başlatan: geo - Ağustos 06, 2013, 03:27:43 öö

Başlık: Tübitak Lise 2. Aşama 2001 Soru 1
Gönderen: geo - Ağustos 06, 2013, 03:27:43 öö

Konveks bir $ABCD$ dörtgeninin $\lbrack AD\rbrack $ ve $\lbrack BC\rbrack $ kenarlarının orta dikmeleri bu dörtgenin iç bölgesindeki bir $P$ noktasında; $\lbrack AB\rbrack $ ve $\lbrack CD\rbrack $ kenarlarının orta dikmeleri de dörtgenin iç bölgesindeki bir $Q$ noktasında kesişiyor. $\widehat{APD}=\widehat{BPC}$ ise, $\widehat{AQB}=\widehat{CQD}$ olduğunu gösteriniz.

Başlık: Ynt: 1 - Tashih edildi
Gönderen: geo - Ağustos 06, 2013, 03:52:18 öö

$\angle APD=\angle BPC$ olduğu için $\angle BPD=\angle APC$ ve $\dfrac{BP}{PC}=\dfrac{PD}{PA}=1$ olduğu için de $K.A.K$ dan $\triangle PAC\cong \triangle PDB$ elde edilir. Yani $AC=BD$ dir.

(http://geomania.org/forum/2001-41/1-3044/?action=dlattach;attach=12948;image)

Benzer mantıkla $\dfrac{BQ}{QA}=\dfrac{QD}{QC}=\dfrac{BD}{AC}=1$ olduğu için $K.K.K$ dan $\triangle QBD\cong \triangle QAC$ eşliği elde edilir. Bu durumda $\angle AQC=\angle BQD$ elde edilir. Buradan da $$\angle AQC-\angle BQC=\angle BQD-\angle BQC\Rightarrow \angle AQB=\angle CQD$$ elde edilir.