$AN$ üçgenin iç açırotayı olsun. $BK=CD=u-c$, $AE=CL=u-a$,
$KQ=\left|\dfrac{a}{2}-\left(u-c\right)\right|=\dfrac{\left|c-b\right|}{2}$, $CN=\dfrac{ab}{b+c}$, $QN=\left|\dfrac{a}{2}-\dfrac{ab}{b+c}\right|=\dfrac{\left|ac-ab\right|}{2\left(b+c\right)}=\dfrac{a\left|c-b\right|}{2\left(b+c\right)}$ olacaktır.
(http://geomania.org/forum/1994-43/6-3042/?action=dlattach;attach=13041;image)
Açıortay teoreminden $\dfrac{AI}{IN}=\dfrac{AC}{CN}=\dfrac{b}{\dfrac{ab}{b+c}}=\dfrac{b+c}{a}$ ve $\dfrac{KQ}{QN}=\dfrac{\dfrac{\left|c-b\right|}{2}}{\dfrac{a\left|c-b\right|}{2\left(b+c\right)}}=\dfrac{b+c}{a}$ olduğu için $IQ\parallel AK$ dır.
$AKC$ üçgeninde $P,L,B$ noktaları için Menelaus uygularsak $\dfrac{AP}{PK}\cdot \dfrac{KB}{BC}\cdot \dfrac{CL}{LA}=1$ olacağından $\dfrac{AP}{PK}\cdot \dfrac{u-c}{a}\cdot \dfrac{\left(u-a\right)}{b-\left(u-a\right)}=1\Rightarrow \dfrac{AP}{PK}=\dfrac{a}{u-c}\cdot \dfrac{u-c}{u-a}=\dfrac{a}{u-a}\Rightarrow \dfrac{AP}{AK}=\dfrac{a}{u}$ elde edilir. $IQ\parallel AK$ olduğu için $\dfrac{IQ}{AK}=\dfrac{QN}{KN}=\dfrac{a}{a+b+c}=\dfrac{a}{2u}$ olur. Bu durumda $AP=2\cdot IQ$ elde edilir.
$3\cdot \left[PGQ\right]=\left[APQ\right]=2\cdot \left[AQI\right]=2\cdot \left(\dfrac{3\cdot \left[AIG\right]}{2}\right)\Rightarrow \left[PQG\right]=[AGI]$ elde edilir.
Not:
İç teğet çemberin değme noktalarını köşelerle birleştiren doğrular üçgenin Gergonne noktasında kesişir. Dış teğet çemberlerin kenarlara değme noktalarını köşelerle birleştiren doğrular üçgenin Nagel noktasında kesişir. İç teğet çemberin bir kenara değdiği noktanın o kenarın orta noktasına göre simetriği dış teğet çemberin o kenara değdiği noktadır. Yani sorudaki $P$ noktası, üçgenin Nagel noktasıdır. Nagel noktası, ağırlık merkezi ve iç merkez doğrusaldır. Bu doğruya Nagel doğrusu (http://mathworld.wolfram.com/NagelLine.html) denir. $IG=\dfrac{1}{2}GP$ bağıntısı vardır. Bu bilgiler eşliğinde $\dfrac{GQ}{AG}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{IG}{GP}\Rightarrow IQ\parallel AP$ ve yamuktaki alan özelliğinden $\left[PQG\right]=[AIG]$ olacaktır.