Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 2. Aşama => 1994 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ağustos 06, 2013, 03:26:16 öö
-
$f: \mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R}^{+}$ artan bir fonksiyon olsun. Her $u \in \mathbb{R}^{+}$ için $\lbrace f(t)+\dfrac{u}{t}:t>0\rbrace $ kümesinin en büyük alt sınırına $g(u)$ diyelim.
- $x\le g(xy)$ ise $x\le 2f(2y)$
- $x\le f(y)$ ise $x\le g(xy)$
-
Tanımlanan kümeye $A_u$ diyelim.
a) $g(u)$, verilen kümenin alt sınırı olduğundan her $t>0$ için $$f(t)+\dfrac{u}{t}\geq g(u)$$ olacaktır. Dolayısıyla eğer $g(xy)\geq x$ ise her $t>0$ için $$f(t)+\dfrac{xy}{t}\geq g(xy)\geq x$$ olmalıdır. $t=2y$ alırsak $$f(2y)+\dfrac{x}{2}\geq x\implies 2f(2y)\geq x$$ bulunur.
b) Aksini kabul edelim. Yani $x\leq f(y)$ ve $g(xy)<x$ olsun. $g(xy)$ alt sınırların en büyüğü olduğundan $x$ sayısı $A_u$'nun bir alt sınırı olamaz. Yani öyle bir $t_0$ vardır ki $$f(t_0)+\dfrac{xy}{t_0}<x$$ Eğer $t_0\geq y$ ise $f$ artan olduğundan, $$x\leq f(y)+\dfrac{xy}{t_0}\leq f(t_0)+\dfrac{xy}{t_0}<x$$ çelişkisi ortaya çıkacaktır. Eğer $y>t_0$ ise $$x<f(t_0)+\dfrac{xy}{y}\leq f(t_0)+\dfrac{xy}{t_0}<x$$ çelişkisi olacaktır. Her durumda çelişki çıktığından baştaki kabulümüz yanlıştır. Eğer $x\leq f(y)$ ise $x\leq g(xy)$ olmalıdır.
-
Bilgilendirme Notu: Soru metni "(a) ve (b) eşitsizliklerini ispatlayınız" biçiminde tamamlansa daha iyi olurdu. Bununla birlikte, Matematik Dünyası dergisinin eski sayılarından da kontrol ettim ve soru metni yukarıdaki biçimdedir. Biz de orijinal biçimine sadık kalarak, soru metninde herhangi bir değişikliğe gitmedik.