Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Cebir-Teorem ve İspatlar => Konuyu başlatan: alpercay - Temmuz 20, 2013, 06:42:05 ös

Başlık: Harmonik Seri
Gönderen: alpercay - Temmuz 20, 2013, 06:42:05 ös

 $1 +\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} +...+\dfrac{1}{k}$  kısmi toplamı  için $k$ 'ya bağlı bir alt ve bir üst sınır bulabilir misiniz?

Başlık: Ynt: Harmonik Seri
Gönderen: Lokman Gökçe - Temmuz 22, 2013, 02:12:16 öö

Bu seri toplam sonsuza gidiyor. yakınsak bir seri olmadığı için üst sınır veremeyiz. k sonsuza gidiyorsa (seri dendiği için sonsuz terimli bir toplamdan bahsedildiğini varsayıyorum) alt sınır olarak da herhangi bir pozitif sayıyı verebiliriz. Örneğin bu toplam 100'den büyüktür diyebiliriz.

Diğer taraftan a_k = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k dizisi için bir alt toplam istenirse bu dizi monoton artan olduğundan alt sınır a₁ = 1 dir. Yani her k pozitif tamsayısı için a_k > 1 olur.

Başlık: Ynt: Harmonik Seri
Gönderen: alpercay - Temmuz 23, 2013, 09:48:50 öö

Hocam seri kelimesini kısmi toplam olarak değiştirdim ve soruyu tekrar ifade ettim.

Başlık: Ynt: Harmonik Seri
Gönderen: alpercay - Mart 29, 2019, 09:52:25 öö

$n\ge 7$ için   $\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1i \le \sqrt n$

Olduğundan dolayı;

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac1 i=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1 i+\dfrac{1}{n+1}\le \sqrt n +\dfrac{1}{n+1}$

Olur ve ;

$\sqrt n+\dfrac1 {n+1}\le\sqrt{n+1}$  bu eşitsizliği ispatlamak işleri çözüyor.

Neden?

Çünki;

$\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1i \le \sqrt n$  varsayıp;

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac1i \le \sqrt {n+1}$  olduğunu göstermemiz gerekiyor.


$\sqrt n+\dfrac1 {n+1}\le\sqrt{n+1}$  bununla biraz oynarsak;


$\sqrt n+\dfrac1 {n+1}\le\sqrt{n+1} \quad\equiv\quad \dfrac1 {n+1}\le \sqrt{n+1}-\sqrt n$

$\equiv\quad \dfrac1{\sqrt{n+1}-\sqrt n}\le n+1$

$\equiv \quad \left(\dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right)\dfrac1{\sqrt{n+1}-\sqrt n}=\sqrt{n+1}+\sqrt n \le n+1$


Öte yandan son eşitsizlik olan,   $\sqrt{n+1}+\sqrt n \le n+1$   ,bu eşitsiziliği kanıtlamak  için;


$\sqrt{n+1}+\sqrt n<\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}$  ve doğal olarak

$2\sqrt{n+1}\le n+1$ eşitsizliğini kanıtlamamız gerek;

sadeleşme yaparsak;

$2\le \sqrt{n+1}$ bulunur ki bu eşitsizlik ,$\forall n\ge 3$ için geçerlidir.

İspatımız tamamlandı.$\Box$ 
Çözüm için Anıl Yalçın'a teşekkürler.

Başlık: Ynt: Harmonik Seri
Gönderen: Eray - Mart 29, 2019, 11:31:56 ös

İddia: Tüm $k$ pozitif tam sayıları için $1 +\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} +...+\dfrac{1}{k} \ge \log_{10}{k}$ eşitsizliği sağlanır.

Başlık: Ynt: Harmonik Seri
Gönderen: alpercay - Ağustos 06, 2019, 04:38:28 ös

Her  $n\gt1$ tamsayısı için $$1/2\lt1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)\lt3/4$$  eşitsizliği mevcuttur. Gösteriniz.