Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Kombinatorik => Konuyu başlatan: senior - Ocak 25, 2013, 06:54:51 ös

Başlık: Jeton Oyunu {Çözüldü}
Gönderen: senior - Ocak 25, 2013, 06:54:51 ös

3cm'lik karelere ayrılmış büyük bir masaya belli bir uzaklıktan jeton atacaksınız. Dairesel jetonun yarıçapı 1 cm. Eğer jeton karelerin birisinin içerisine düşerse oyunu kazanacaksınız. Oyunu bir kez oynamanın ücreti 1 TL,  kazanacağınız para ise 9 TL. Şansınızı dener misiniz?

Başlık: Ynt: Jeton Oyunu
Gönderen: Eray - Haziran 04, 2014, 10:26:47 ös

(Eray Atay, Egemen Erbayat)

Jetonun tek bir $3$x$3$'lük karenin içine düşmesi için, merkezinin şekildeki boyalı alana düşmesi gerekir:
(http://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=2848.0;attach=13725;image)
Bunun olasılığı $\dfrac{1}{9}$'dur.

Büyük bir masa düşünülürse, her $9$ kareden biri bize oyunu kazandıracaktır. Şekilden görülebilir:
(http://geomania.org/forum/kombinatorik/jeton-oyunu/?action=dlattach;attach=13726;image)
Sonuç olarak, oyunu kazanma olasılığımız $\dfrac{1}{9}$'dur.

Şimdi, şansımızı denemenin mantıklı olup olmadığına gelelim. Bir kez oynamanın ücreti 1 TL ve kazanırsak alacağımız para 9 TL olduğuna göre, oyunu $9$ kere oynayıp en az birini kazanırsak zarar etmeyiz. Bunu bulmak için ise, $9$ el boyunca hiç kazanamama olasılığımızı $1$'den çıkarmalıyız.
Oyunu kazanamama olasılığımız $\dfrac{8}{9}$'dur. Dolayısıyla $9$ el boyunca hiç kazanamama olasılığımız $\left(\dfrac{8}{9}\right)^9\simeq0,3464$'tür. O halde zarar etmeme olasılığımız $1-\left(\dfrac{8}{9}\right)^9\simeq0,6535$'tir.
Yaklaşık $0,6535$ olasılıkla 9 TL kaybetmemenin yeterli olup olmadığı sizin görüşünüze kalmıştır :)

Başlık: Ynt: Jeton Oyunu
Gönderen: senior - Haziran 10, 2015, 09:06:32 ös

Beklenen Değer, o karara yardımcı olur genelde :)

1/9 olasılıkla 9 TL kazanıyoruz, 8/9 olasılıkla -1 TL kazanıyoruz. Yani ortalama 1/9 * 9 + 8/9 * (-1) = 1/9 TL kazanıyoruz. Bu durumda oyunu oynamak mantıklı olabilir.

Başlık: Ynt: Jeton Oyunu
Gönderen: Alimmm78 - Ağustos 07, 2015, 05:52:07 ös

1/9 olasılıkla 8 TL kazanmış olacak 
8/9 olasılıkla 1 TL kaybetmiş olacak
1/9*8 - 8/9*1 = 0 yani ne kazanıyor ne kaybediyor
neden böyle değil?

Başlık: Ynt: Jeton Oyunu
Gönderen: senior - Ağustos 07, 2015, 06:23:32 ös

Haklısın :D 9 TL değil 8 TL alacak net olarak oyunu kazandığı durumda.

Başlık: Ynt: Jeton Oyunu
Gönderen: Eray - Ağustos 07, 2015, 09:33:10 ös

Oyunu oynadığımızda kazanacağımız paranın beklenen değeri 0 TL olduğuma göre oyunu oynamak mantıksal olarak karlı ya da zararlı değildir diye düşünüyorum :)

Başlık: Ynt: Jeton Oyunu
Gönderen: senior - Ağustos 07, 2015, 09:50:10 ös

Sadece buna bağlı karar verilmesi her zaman doğru olmaz :) Ama beklenen değere göre bakarsak oyunu çok fazla oynarsak ne kar ne zarar elde ederiz.