Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Kombinatorik => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Ocak 08, 2013, 11:52:39 ös
-
Bir çocuk her gün istediği kadar (en az bir tane) şeker yiyerek n tane şekeri
kaç farklı şekilde yer ?
XIV.UMO(2006)
10 şekeri olan Ali, her gün en az bir şeker yiyorsa, şekerlerin tümünü günlere
dağılımı itibariyle kaç değişik biçimde yiyebilir?
A)64 B)126 C)243 D)512 E)1025
-
10 şeker sorusunu çözelim. n şeker için genellemeyi bulmak kolay olacaktır.
10 şekeri bir günde bitiriyorsa bunu 1 yolla yapabilir. (hepsini ilk gün yemiştir, tek durum) Bunu 1 = C(9,0) ile gösterelim.
10 şekeri iki günde bitiriyorsa x1 + x2 = 10 denkleminin pozitif tamsayı çözümlerini arıyoruz. Bu sayı 9 dur ve 9 = C(9, 1) ile gösterelim.
10 şekeri üç günde bitiriyorsa x1 + x2 + x3 = 10 denkleminin pozitif tamsayı çözümleri C(9, 2) tanedir.
10 şekeri dört günde bitiriyorsa x1 + x2 + x3 + x4 = 10 denkleminin pozitif tamsayı çözümleri C(9, 3) tanedir.
...vs devam edilirse
10 şekeri 10 günde bitiriyorsa x1 + x2 + ... + x10 = 10 denkleminin pozitif tamsayı çözümü yalnızca 1 tanedir. 1 = C(9, 9) ile gösterelim.
Toplam C(9,0) + C(9, 1) + C(9, 2) + ... + C(9, 9) = 29 = 512 elde edilir.
n şeker için formül C(n - 1,0) + C(n - 1, 1) + C(n - 1, 2) + ... + C(n - 1, n- 1) = 2n - 1 olur.
-
10 şeker sorusunu çözelim. n şeker için genellemeyi bulmak kolay olacaktır.
10 şekeri bir günde bitiriyorsa bunu 1 yolla yapabilir. (hepsini ilk gün yemiştir, tek durum) Bunu 1 = C(9,0) ile gösterelim.
10 şekeri iki günde bitiriyorsa x1 + x2 = 10 denkleminin pozitif tamsayı çözümlerini arıyoruz. Bu sayı 9 dur ve 9 = C(9, 1) ile gösterelim.
10 şekeri üç günde bitiriyorsa x1 + x2 + x3 = 10 denkleminin pozitif tamsayı çözümleri C(9, 2) tanedir.
10 şekeri dört günde bitiriyorsa x1 + x2 + x3 + x4 = 10 denkleminin pozitif tamsayı çözümleri C(9, 3) tanedir.
...vs devam edilirse
10 şekeri 10 günde bitiriyorsa x1 + x2 + ... + x10 = 10 denkleminin pozitif tamsayı çözümü yalnızca 1 tanedir. 1 = C(9, 9) ile gösterelim.
Toplam C(9,0) + C(9, 1) + C(9, 2) + ... + C(9, 9) = 29 = 512 elde edilir.
n şeker için formül C(n - 1,0) + C(n - 1, 1) + C(n - 1, 2) + ... + C(n - 1, n- 1) = 2n - 1 olur.
Lokman hocam güzel açıklamış. Literatürde de bir n pozitif tamsayının kendisinden küçük veya eşit pozitif tamsayıların toplamı biçiminde yazılabilme sayısı 2n-1 ile verilmektedir. Örneğin 4 için;
1+1+1+1
1+1+2
2+1+1
1+2+1
2+2
1+3
3+1
4
yani 23=8 dir.