Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Kombinatorik => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Ocak 06, 2013, 04:16:56 ös
-
{1,2,.......,2006} kümesi, boş olmayan ve hiçbiri ardışık herhangi iki sayı içermeyen
üç kümeye kaç değişik biçimde ayrılabilir?
A) 32006-3.22006+1 B) 22005-2 C) 32004 D) 32005-1 E) Hiçbiri
-
Kümeler A, B, C olsun. 1 in eleman olarak A kümesinde olduğunu varsayabiliriz. Bundan sonra
2, ya B de veya C dedir. 2 durum var.
3, ya A da, ya da 2 yi bulundurmayan kümededir. 2 durum var.
... Bu şekilde devam edersek herbir eleman için 2 durum olacaktır. çarpma prensibinden 22005 elde ederiz. Tek sayılar A kümesinde, çift sayılar B ya da C den birinde birikirse diğer küme boş olacağındna 1 çıkarmalıyız. 22005 - 1 Cevap E.
-
{1,2,......,30} kümesinden 5 elemanlı fakat ardışık eleman içermeyen
kaç küme seçilir? yanıt: C(26,5)
-
Öncelikle ilk sorumun cevabını 22004 - 1 olarak değiştireyim. 3 tane doğru çözüm vereceğim.
Ayırtedilemezlik kavramının yerleşmesi bakımından, bu problemlerde sorun yaşayanlar için, her bir çözümün dikkatle okunmasını tavsiye ederim.
1. yol: A, B, C birbirinden ayırtedilemeyen kümeler olduğu için 1 in A da olduğunu varsaymak genelliği bozmaz demiştik. 2 nin de B de olduğunu varsaymak genelliği bozmaz. Bu kabuller altında A, B, C ayırtedilebilir kümelerdir. Şimdi 3'ü B ye yazamayız. A veya C ye yazılacağından 2 durum var. Benzer şekilde 4'ü yazabileceğimiz iki küme vardır. Bunlar 3'ü içermeyen kümeler olabilir....vs. 2006 için de 2 durum vardır. Çarpma prensibinden 22004 elde edilir. Fakat A, B, C nin boş olmaması isteniyordu. A ile B nin içinde sırasıyla 1, 2 elemanları olduğundan zaten boş küme değiller. C nin boş olduğu bir durum var. O da A = {1, 3, 5, ..., 2005} , B = {2, 4, 6, ..., 2006}, C = { } yazılışıdır. Dolayısıyla doğru yanıt 22004 - 1 olmalıdır.
2. yol: Üstteki hatalı çözümümde 1 in A da olduğunu varsaymak genelliği bozmaz diyerek başlamıştık. Bu yoldan ilerleyelim. yapılan hatayı da açıklarsak problem daha iyi anlaşılacaktır. 2 ya B de ya da C dedir demişiz, doğru. Ama böyle başlayınca B ile C ayırtedilemez kümeler olmaktadır. Bunu aklımızda tutarsak hiçbir sorun çıkmayacaktır. Bu halde 22005 elde ederiz. Fakat A = {1, 3, 5, ..., 2005} , B = {2, 4, 6, ..., 2006}, C = { } ya da A = {1, 3, 5, ..., 2005} , C = {2, 4, 6, ..., 2006}, B = { } istenmeyen durumlar olduğundan bu iki durumu çıkarmalıyız. 22005 - 2 elde edilir. Seçenekler çeldirici olarak hazırlanmış, bu cevap seçeneklerde var. B ile C ayırtedilemez olduğundan 22005 - 2 sayısını 2! ile bölelim. 22004 - 1 elde edilir.
3. yol: 1 sayısı A, B, C den herhangi birindedir. 3 durum var. Bundan sonra 2 sayısı (1 i bulundurmayan) diğer iki kümeden birindedir, 2 durum var. 3 sayısı (2 yi bulundurmayan) diğer iki kümeden birindedir, yine 2 durum var ... vs. 2006 sayısı (2005 i bulundurmayan) diğer iki kümeden birindedir, 2 durum var. çarparsak 3.22005 olur. Şimdi de boş küme durumlarını çıkaralım. A = {1, 3, 5, ..., 2005} , B = {2, 4, 6, ..., 2006}, C = { } ve permütasyonlarından 6 tane istenmeyen durum elde edilir. 3.22005 - 6 sonucuna ulaşırız. A, B, C ayırtedilemez kümeler olduğundan bunların kendi aralarında yer değiştirmesi aynı kümeleri verir. Dolayısıyla 3.22005 - 6 sayısını 3! ile bölmeliyiz. Buradan 22004 - 1 elde edilir.
-
{1,2,......,30} kümesinden 5 elemanlı fakat ardışık eleman içermeyen
kaç küme seçilir? yanıt: C(26,5)
Problemin çözümü dağılım prensibi ile ilgilidir. A = {a, b, c, d, e} ardışık eleman içermeyen bir küme olsun. Bu durumda a dan küçük x1 tane sayı, a ile b arasında x2 tane sayı, b ile c arasında x3 tane sayı, c ile d arasında x4 tane sayı, d ile e arasında x5 tane sayı, e den büyük x6 tane sayı olduğunu düşünebiliriz. A kümesinde ardışık eleman bulunmaması için x1 > 0, x6 > 0, x2 > 1, x3 > 1, x4 > 1, x5 > 1 olması gereklidir ve tabii ki yeterlidir. {1,2,......,30} kümesinin elemanlarından 5 tanesi {a, b, c, d, e} olduğundan geriye 25 tane sayı kalıyor.
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 25
denkleminin çözüm sayısını bulmalıyız. Bu ise dağılım prensibinden dolayı C(26, 5) elde edilir.
-
{1,2,......,30} kümesinden 5 elemanlı fakat ardışık eleman içermeyen
kaç küme seçilir? yanıt: C(26,5)
Problemin çözümü dağılım prensibi ile ilgilidir. A = {a, b, c, d, e} ardışık eleman içermeyen bir küme olsun. Bu durumda a dan küçük x1 tane sayı, a ile b arasında x2 tane sayı, b ile c arasında x3 tane sayı, c ile d arasında x4 tane sayı, d ile e arasında x5 tane sayı, e den büyük x6 tane sayı olduğunu düşünebiliriz. A kümesinde ardışık eleman bulunmaması için x1 > 0, x6 > 0, x2 > 1, x3 > 1, x4 > 1, x5 > 1 olması gereklidir ve tabii ki yeterlidir. {1,2,......,30} kümesinin elemanlarından 5 tanesi {a, b, c, d, e} olduğundan geriye 25 tane sayı kalıyor.
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 25
denkleminin çözüm sayısını bulmalıyız. Bu ise dağılım prensibinden dolayı C(26, 5) elde edilir.
Çok güzel bir çözüm olmuş. Zihnine sağlık hocam..
-
Öncelikle ilk sorumun cevabını 22004 - 1 olarak değiştireyim. 3 tane doğru çözüm vereceğim.
Ayırtedilemezlik kavramının yerleşmesi bakımından, bu problemlerde sorun yaşayanlar için, her bir çözümün dikkatle okunmasını tavsiye ederim.
1. yol: A, B, C birbirinden ayırtedilemeyen kümeler olduğu için 1 in A da olduğunu varsaymak genelliği bozmaz demiştik. 2 nin de B de olduğunu varsaymak genelliği bozmaz. Bu kabuller altında A, B, C ayırtedilebilir kümelerdir. Şimdi 3'ü B ye yazamayız. A veya C ye yazılacağından 2 durum var. Benzer şekilde 4'ü yazabileceğimiz iki küme vardır. Bunlar 3'ü içermeyen kümeler olabilir....vs. 2006 için de 2 durum vardır. Çarpma prensibinden 22004 elde edilir. Fakat A, B, C nin boş olmaması isteniyordu. A ile B nin içinde sırasıyla 1, 2 elemanları olduğundan zaten boş küme değiller. C nin boş olduğu bir durum var. O da A = {1, 3, 5, ..., 2005} , B = {2, 4, 6, ..., 2006}, C = { } yazılışıdır. Dolayısıyla doğru yanıt 22004 - 1 olmalıdır.
2. yol: Üstteki hatalı çözümümde 1 in A da olduğunu varsaymak genelliği bozmaz diyerek başlamıştık. Bu yoldan ilerleyelim. yapılan hatayı da açıklarsak problem daha iyi anlaşılacaktır. 2 ya B de ya da C dedir demişiz, doğru. Ama böyle başlayınca B ile C ayırtedilemez kümeler olmaktadır. Bunu aklımızda tutarsak hiçbir sorun çıkmayacaktır. Bu halde 22005 elde ederiz. Fakat A = {1, 3, 5, ..., 2005} , B = {2, 4, 6, ..., 2006}, C = { } ya da A = {1, 3, 5, ..., 2005} , C = {2, 4, 6, ..., 2006}, B = { } istenmeyen durumlar olduğundan bu iki durumu çıkarmalıyız. 22005 - 2 elde edilir. Seçenekler çeldirici olarak hazırlanmış, bu cevap seçeneklerde var. B ile C ayırtedilemez olduğundan 22005 - 2 sayısını 2! ile bölelim. 22004 - 1 elde edilir.
3. yol: 1 sayısı A, B, C den herhangi birindedir. 3 durum var. Bundan sonra 2 sayısı (1 i bulundurmayan) diğer iki kümeden birindedir, 2 durum var. 3 sayısı (2 yi bulundurmayan) diğer iki kümeden birindedir, yine 2 durum var ... vs. 2006 sayısı (2005 i bulundurmayan) diğer iki kümeden birindedir, 2 durum var. çarparsak 3.22005 olur. Şimdi de boş küme durumlarını çıkaralım. A = {1, 3, 5, ..., 2005} , B = {2, 4, 6, ..., 2006}, C = { } ve permütasyonlarından 6 tane istenmeyen durum elde edilir. 3.22005 - 6 sonucuna ulaşırız. A, B, C ayırtedilemez kümeler olduğundan bunların kendi aralarında yer değiştirmesi aynı kümeleri verir. Dolayısıyla 3.22005 - 6 sayısını 3! ile bölmeliyiz. Buradan 22004 - 1 elde edilir.
Mükemmel..:)