Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: geo - Aralık 09, 2012, 08:56:25 ös
-
A0 açısının kollarının biri üzerinde bir A1 noktası alınıyor. A1 merkezli, A0'dan geçen çemberin, açının A1'i içermeyen kolunu kestiği noktaya A2 diyoruz. Benzer şekilde A2 merkezli, A1'den geçen çemberin açının A2'yi içermeyen kolunu kestiği noktaya A3 diyoruz. Bu işlemi, benzer şekilde, her i pozitif tam sayısı için |AiA0| < |Ai+2A0| olacak şekilde devam ettiriyoruz. A10 noktasını koyduktan sonra, A10 merkezli, A9'dan geçen çemberi çizdiğimizde, çemberin, açının A10'u içermeyen kolunu |A9A0| < |A11A0| olacak şekilde kesemediğini görüyoruz. Buna göre, m(A0)'nın derece cinsinden alabileceği kaç tam sayı değer vardır?
-
Anladığım kadarıyla |A9A0| ≥ |A11A0| olacak şekilde kesiyor.Bu durumda 9≤m(A0)<10 olup tek tamsayı değer alır.
Ardışık açılar yazma yöntemiyle ortak kenar kullanan dokuz ikizkenar üçgen çizilir.Son bulunan ikizkenar üçgenin taban açıları 9m(A0) olmaktadır, buradan 18m(A0)<180 den m(A0)<10 ve son çizilen çember ya A9 da teğet olacak ki bu durumda m(A0)=9 ya da A9 ile A0 arasında açıyı kesecek bu durumda da 10m(A0)>90 dan m(A0)>9 olur.
-
m(A0)=x olsun.
i pozitif tam sayısı için, AiAi-1Ai+1 ikizkenar üçgeninin taban açısı, i.x olacaktır.
An noktası koyulmuş, An+1 noktası |An-1A0| < |An+1A0| şartını sağlamıyor.
Bu durumda AnAn-1An+1 üçgeni çizilemedi.
Bir önceki çizilen üçgen An-1An-2An. Taban açısı (n-1)x.
Bir ikizkenar üçgenin taban açısı 90'dan küçük olmalı. (n-1)x<90 ise x < 90/(n-1) elde ederiz.
AnAn-1An+1 belirtilen şartlarda çizilebilseydi, x < 90/n olacaktı.
Çizilemediği için x≥90/n olmalı.
O halde, 90/(n-1)> m(A0) ≥90/n şartı sağlanmalı.
n=10 için; 90/9 = 10 > m(A0) ≥ 90/10 = 9 şartını sağlayan tek tam sayı 9'dur. O halde, m(A0)'nın derece cinsinden alabileceği sadece bir tam sayı değer vardır.
Aşağıdaki tabloda n'nin değerleri için, m(A0)'nın alabileceği tam sayı değerler listelenmiş. Tabloda yer almayan n değerleri için, ( 90/(n-1), 90/n] aralığında herhangi bir tam sayı yoktur.
| n | 90/(n-1) | 90/n | Tam Sayı Çözümler | Tam Sayı Çözüm Sayısı |
| 2 | 90 | 45 | 45,46,…,88,89 | 45 |
| 3 | 45 | 30 | 30,31,…,43,44 | 15 |
| 4 | 30 | 22 1/2 | 23,24,25,26,27,28,29 | 7 |
| 5 | 22 1/2 | 18 | 18,19,20,21,22 | 5 |
| 6 | 18 | 15 | 15,16,17 | 3 |
| 7 | 15 | 12 6/7 | 13,14 | 2 |
| 8 | 12 6/7 | 11 1/4 | 12 | 1 |
| 9 | 11 1/4 | 10 | 10,11 | 2 |
| 10 | 10 | 9 | 9 | 1 |
| 12 | 8 2/11 | 7 1/2 | 8 | 1 |
| 13 | 7 1/2 | 6 12/13 | 7 | 1 |
| 15 | 6 3/7 | 6 | 6 | 1 |
| 18 | 5 5/17 | 5 | 5 | 1 |
| 23 | 4 1/11 | 3 21/23 | 4 | 1 |
| 30 | 3 3/29 | 3 | 3 | 1 |
| 45 | 2 1/22 | 2 | 2 | 1 |
| 90 | 1 1/89 | 1 | 1 | 1 |