Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: geo - Ekim 01, 2012, 11:12:21 öö
-
ABC üçgeninde kenarlar arasında
a4+b4+c4=3848
kenarortaylar arasında
ma2+mb2+mc2 = 75
bağıntısı olduğuna göre [ABC]*=?
*[ABC]=Alan(ABC)
-
Çözüm. İyi bilinen 3(a2 + b2 + c2) = 4((ma)2 +(mb)2 + (mc)2) eşitliğinden a2 + b2 + c2 = 100 bulunur.
a2 + b2 + c2 ifadesinin kare açılımından elde edilen
a2b2 + a2c2 + b2c2 = 3076 değerini bir kenara yazalım.Elimizdeki bu verilerden üçgenin alanına geçmek istiyoruz.Kosinüs teoremi ve sinüslü alan formülü işimize yarar gözüküyor.Alan (ABC) = S olmak üzere Kosinüs teoreminden devam edelim.
a2 + b2 - c2 = 2abCosC
(a2 + b2 - c2)2 = 4a2b2cos2C =4a2b2(1 - sin2C) = 4a2b2 - 4(absinC)2 = 4a2b2 - 16.S2....(1)
Benzer şekilde
4a2c2 - 16S2 =(a2 + c2 - b2)2....(2)
4b2c2 - 16S2 = (b2 + c2 - a2)2....(3) yazılıp bu üç eşitlik toplanırsa
4(a2b2 + a2c2 + b2c2) -48S2 = (a2 + b2 - c2)2 + (a2 + c2 - b2)2 + (b2 + c2 - a2)2
4.3076 - 48.S2 = 3.3848 - 2.3076
S2 = 144 ten S = 12 birimkare bulunur.