Geomania.Org Forumları

Fantezi Geometri => Geometri-Teorem ve İspatlar => Konuyu başlatan: alpercay - Eylül 30, 2012, 01:51:31 ös

Başlık: Kenarortaylar İle Üçgen Oluşturma
Gönderen: alpercay - Eylül 30, 2012, 01:51:31 ös

Teorem.Üçgenin kenarortayları ile daima bir üçgen oluşturulabileceğini ve bu üçgenin alanının başlangıçtaki üçgenin alanının 3 / 4 'ü olduğunu kanıtlayınız.

Başlık: Ynt: Kenarortaylar Üzerine
Gönderen: geo - Eylül 30, 2012, 03:01:14 ös

ABC üçgeninde V_a, V_b, V_c a, b, c kenarlarının orta noktaları ve G de üçgenin ağırlık merkezi olsun.
C'den BG'ye paralel,
B'den CG'ye paralel çizelim.
Bu iki doğru L'de kesişsin.
BGCL bir paralelkenar ve V_a, BC'nin orta noktası olduğu için A,G,V_a, L noktaları doğrusaldır.
GV_a=V_aL olduğu için GL=AG=2(AV_a)/3 tür.
GC = 2(CV_c)/3 ve LC=BG=2(BV_b)/3 olduğu için CGL üçgeninde
kenarlar arasındaki oran CG:GL:LC = V_c:V_a:V_b dır. Bu durumda üçgenin kenarortayları bir üçgen belirtir.
Üçgenin kenarortaylarının oluşturduğu üçgene XYZ dersek. CGL üçgeni ile XYZ arasındaki benzerlik oranı, 2/3 olduğu için alanları oranı 4/9 dur.
Aynı zamanda  [ABC]/3 = [BGC] = [CGL] = 4[XYZ]/9 olduğu için 3[ABC]/4 = [XYZ] dir.

Başlık: Ynt: Kenarortaylar Üzerine
Gönderen: geo - Eylül 30, 2012, 03:26:33 ös

ABC üçgeninde Va, Vb, Vc; a, b, c kenarlarının orta noktaları ve G de üçgenin ağırlık merkezi olsun.
C'den AB'ye çizilen paralel ile A'dan CV_c'ye çizilen paralel L'de kesişsin.
ALCV_c paralelkenarında V_b köşegenlerden birinin orta noktası olduğuna göre diğerinin de orta noktasıdır. Yani V_c, V_b, L noktaları doğrusal ve V_cV_b=V_bL dir.
V_cV_b // BC ve V_cV_b=BC/2 olduğu için
V_bL = V_cV_b = BV_a dır. LV_b // BV_a ve V_bL = BV_a olduğu için de BV_aLV_b bir paralelkenar ve V_aL = BV_b dir. Son durumda AV_aL üçgenin kenarları, ABC üçgeninin kenarortaylarına eşittir.
LV_b doğrusu ile AV_a doğrusu M de kesişsin.
Hem  V_cV_b // BC  hem de AV_b = V_bC olduğu için AM=MV_a, yani LM, AV_aL üçgeninin bir kenarortayıdır. V_cM = MV_b = LV_b/2 olduğu için de LM kenarortayı üzerindeki 2:1 oranlı V_b noktası ALV_a üçgeninin ağırlık merkezidir.
[AV_cV_b] = [ABC]/4
[AV_bL] = [ALV_a]/3 ve
[AV_cV_b]=[AV_bL]  olduğu için
[ABC]/4 = [ALV_a]/3 yani [ALV_a]=3[ABC]/4 tür.

Başlık: Ynt: Kenarortaylar Üzerine
Gönderen: alpercay - Eylül 30, 2012, 03:28:26 ös

...

Başlık: Ynt: Kenarortaylar Üzerine
Gönderen: geo - Eylül 30, 2012, 03:49:33 ös

İkinci yaptığım çözümden, 1. Aşama ayarında şöyle bir soru türetebiliriz.

AB=7, BC=5, AC=8 olan bir ABC üçgeninin ağırlık merkezi G ve [AC] kenarının orta noktası M'dir. B'den AG'ye çizilen paralel ile A'dan BC'ye çizilen paralel K'de kesiştiğine göre, BKM üçgeninin alanı nedir?

Başlık: Ynt: Kenarortaylar Üzerine
Gönderen: alpercay - Eylül 30, 2012, 04:35:41 ös

Bosbeles Hocamın bahsettiği ispatındaki adımlar takip edilirse alanı istenen üçgenin ana üçgeninin kenarortaylarından oluştuğu görülebilir.ABC üçgeninin alanının 3 / 4 'ü  bu üçgenin alanını verecektir.ABC üçgeninde  < C = 60^o olduğunu biliyorsak  ABC üçgeninin alanını Heron Formülü kullanmadan sinüslü alan formülünden bulabiliriz.

Başlık: Ynt: Kenarortaylar Üzerine
Gönderen: matsever44 - Şubat 08, 2013, 02:29:51 öö

ABC Üçgensel bölgesinin kenarortayları Va,Vb,Vc olsun.V=(Va+Vb+Vc)/2 olsun.Kenarortayların oluşturduğu üçgenin alanı
4/3.karekök V.(V-Va).(V-Vb).(V-Vc) olur.ispatını da göndereceğim bir ara,dosyayı bulamadım şimdi:))

Başlık: Ynt: Kenarortaylar Üzerine
Gönderen: alpercay - Şubat 08, 2013, 09:13:14 öö

4/3 carpani olmayacak sanirim.Verdiginiz esitlik iyi bilinen Heron Formulu ve kenarortay üçgeni ile ana üçgen arasındaki alan oranı bağıntısı yukarda kanıtlandı.Eğer vereceğiniz kanıt yukardakilerden farklı ise bize katkısı daha çok olacaktır.Teşekkürler.

Başlık: Ynt: Kenarortaylar Üzerine
Gönderen: matsever44 - Şubat 08, 2013, 10:39:29 ös

yanlış yazmışım kenarortayların oluşturdğu üçgenin alanaı değil,ABC üçgeninin alanı demek istedim.

Başlık: KENARORTAY UZUNLUKLARI VERİLEN ÜÇGENİN ALANI
Gönderen: matsever44 - Şubat 08, 2013, 11:08:39 ös

formül ektedir

edit: resim boyutlarına dikkat ediniz. iyi çalışmalar... (ERhan ERdoğan)

Başlık: Ynt: Kenarortaylar Üzerine
Gönderen: matsever44 - Şubat 09, 2013, 12:08:39 öö

ekteki dosya yanılmıyorsam uğur cesura ait olabilir