Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ağustos 10, 2012, 06:40:56 ös
-
Tübitak tarafından desteklenen ve 20 Temmuz 3 Ağustos tarihleri arasında Afyon'da lise öğretmenlerine yönelik yapılan Matematik Olimpiyat Eğitimi 2. Kademe Kampı'nda sorduğumuz Kamp Sonu Sınav Soruları'nı sunalım. Kolay gelsin ...
-
3.Soru. m2 -13m + 23 ifadesinin bir tam kare olmasını sağlayan tüm m tam sayılarını bulmak istiyoruz. n bir tam sayı olmak üzere m2 -13m + 23 = n2 şeklinde yazalım ve ifadeyi tam kare yapmak için her iki tarafı 4 ile genişletelim.
4m2 -52m + 92 = 4n2
4m2 -52m +169 - 169 + 92 = 4n2
(2m - 13 - 2n)(2m - 13 + 2n) = 77 = 7.11 = (-7)(-11) = 1.77 = (-1)(-77)
2m - 13 - 2n = 7 ve 2m - 13 + 2n = 11 eşitliklerinden m = 11 2m - 13 - 2n = -7 ve 2m - 13 + 2n = -11 eşitliklerinden m = 2
2m - 13 - 2n = 1 ve 2m - 13 + 2n = 77 eşitliklerinden m = 26
2m - 13 - 2n = -1 ve 2m - 13 + 2n = -77 eşitliklerinden m= -13
değerleri bulunur.
-
5.Soru. ABCD teğetler dörtgeninin kenar uzunlukları a,b,c,d ve m(B) = 120, m(C) = 120 olmak üzere d2 = a2 + b2 + c2 olduğunu göstermek istiyoruz.Dörtgenin AB ve DC kenarlarını uzatalım ve bunların kesim noktasına E diyelim.Bu durumda m(E) = 60 derece ve bir kenarı b olan BEC eşkenar üçgeni ve |DE| = b + c , |AE| = b + a olan ADE üçgeni oluşur.
Dörtgenin iç teğet çemberinin merkezi O ve yarı çapı r olsun.O dan BC kenarına dikme indirilir ve O noktası ile B ve C noktaları birleştirilirse oluşan 30-60-90 üçgeninden faydalanarak b = 2r / kök(3) ve r = 2b / kök(3) bulunur.
ADE üçgenine E köşesine göre kosinüs teoremi uygulanınca
d2 = a2 + b2 + c2 + bc + ab - ac eşitliğine ulaşılır........(1)
Şimdi teğetler dörtgeninin alanını iki farklı yoldan ifade edelim. u = (a + b + c + d) / 2 ve teğetler dörtgeninde a + c = b + d olduğundan u = a + c ve S = Alan(ABCD) göstermek üzere S = u.r = (a + c )b.kök(3)/2 yazılabilir.
S = Alan(AED) - Alan(BEC) şeklinde de ifade edilebilir.Hesaba geçersek
S = (1 / 2).(b + c)(b + a).sin60 - b2kök(3) / 4 = (a + c )b.kök(3)/2
alanların eşitliğinden
ac = ab + bc
elde olunur.Bu değer (1) de yerine yazılırsa
d2 = a2 + b2 + c2
eşitliğine ulaşılır.
-
1.soru çözüm
-
6.Soru. ABC üçgeninde C den çizilen açıortay ve yükseklik [AB] kenarını sırasıyla L, H de kessin.
L den AC ve BC ye çizilen dikme ayakları M, N olsun. AN, BM, CH doğrularının aynı noktadan
geçtiğini ispatlayınız.
Çözüm. AN,BM ve CH doğrularının aynı noktadan geçtiğini göstermek demek Ceva Teoremi'nin yani BN/NC.CM/MA.AH/HB = 1 olduğunu kanıtlamak demektir.LMC ve LNC üçgenlerinin eşliğinden CM = NC olduğundan kanıtlamak istediğimiz eşitlik BN/HB.AH/MA = 1....(1) şekline dönüşür.
ABC üçgeninde açıortay teoreminden BL/BC = AL/AC ...(2) ve LBN ile CBH üçgenlerinin benzerliğinden BL/BC = BN/HB...(3) yazılabilir.(2) ve (3) den BN/HB = AL/AC eşitliğine ulaşılır.Bunu (1) de yerine yazarsak göstermek istediğimiz eşitlik AL/AC.AH/MA = 1 şekline gelir.
ALM ve ACH üçgenlerinin benzerliğinden AL/AC = MA/AH eşitliğini elde ederiz.Bu son eşitliği bir üstteki eşitlikte yerine yazarsak BN/NC.CM/MA.AH/HB = 1 olduğunu kanıtlamış oluruz.
-
2)
A=1n+2n+3n+4n; her zaman çifttir.
Bu nedenle 5|A ise 10|A dır.
n=tek ise;
1n+4n = 0 (mod 5)
2n+3n = 0 (mod 5)
olacağından 10|A.
n=çift ise;
A=1n+2n+3n+4n=1n+2n+2n+1n=2+2.2n=2(1+2n)=0 (mod 5) olacağından n=4k+2 olacaktır.
Tek 4k+1 ve 4k+3 ile çift 4k+2 sayıları için 10|A. Bu durumda n=4k için A, 10 ile bölünmez.
1000<=n<1100 aralığındaki 101 sayıdan 26 sı 4 ile bölünür. Bu durumda 101-26=75 sayı için 10|A.
-
7)
a1 = 1
a2 = 3
a11 = a10x1 + a9x2
an+2 = 2an +an+1
r2-r-2=0 => r1=2 ve r2=-1
an = A2n+B(-1)n
a1 = 1 = 2A-B
a2 = 3 = 4A+B
A = 2/3 B=1/3
an = (2/3).2n+(1/3)(-1)n = (2n+1+(-1)n)/3 => a11 = (212-1)/3=1365
-
8 )
AO >= GO
y+z+z >= 3(yz2)1/3
(y+2z)2/x >= 9(y2z4)1/3/x
(z+2x)2/y >= 9(z2x4)1/3/y
(x+2y)2/z >= 9(x2y4)1/3/z
A = (y+2z)2/x+(z+2x)2/y+(x+2y)2/z
>= 9( (y2z4)1/3/x + (z2x4)1/3/y + (x2y4)1/3/z)
AO >= GO
( (y2z4)1/3/x + (z2x4)1/3/y + (x2y4)1/3/z) >= 3(((x6y6z6)1/3)/(xyz))1/3 =3(xyz)1/3>=3
A >= 9.3=27
-
İlginiz için teşekkürler arkadaşlar. Geriye 4. soru kalmış. Biraz daha uğraşmak isteyenler için sadece cevabın kaç olduğunu vereyim.
4. sorunun cevapları:
a) 9! = 362880 b) 60480
-
8. sorunun 2. çözümü:
-
Dün faydalı eşitsizliğin paydasına xyz yazınca işin içinden çıkamamıştım.Demek ki verdiğin kopya sayesinde soruyu çözmeme ramak kalmış Lokman Hocam:)