Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Nisan 16, 2012, 12:58:01 öö
-
20.ulusal (2012) matematik olimpiyatı 1. aşama soruları ve çözümleri buradan verilecektir. bu yıl ben de sınava girerek 2,5 saat boyunca soruları çözdüm. geçen yıla göre kısmen daha kolay olduğundan bu yıl baraj 16 net olur diye düşünüyorum. henüz resmi sorular yayınlanmamış olmakla beraber aklımızda olan bir kaç soruyu yazalım.
Soru (UMO - 2012): n > 2012 olmak üzere 1.21 + 2.22 + ... + n.2n toplamının 10 ile tam bölünebilmesini sağlayan en küçük n tamsayısı nedir?
Soru (UMO - 2012): x3 + y3 = x2yz + xy2z + 2 denklemini sağlayan (x, y, z) tamsayı üçlülerinin sayısı nedir?
-
2012 nin sonlu matematik sorularından birisini sayılarıyla beraber aynen tutturdum.
Soru (UMO - 2012): A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesi üzerinde tanımlı f: A --> A fonksiyonlarının kaç tanesi her a eleman A için fof(a) = a eşitliğini sağlar?
Cevap: 232 dir. problemi foruma 8 Mart 2012 de göndermiştim.
http://geomania.org/forum/kombinatorik/tersi-kendisine-esit-permutasyon-fonksiyonlarinin-sayisi/
-
hocam bir de tübitak ın geçen kişi sayısını arttıracağı konusunda söylentiler var bu konuda birşey biliyor musunuz
-
Soru(UMO-2012): yükseklikleri 3,4 ve 6 olan üçgenin çevresi kaçtır ?
Soru(UMO-2012): Bir çemberin AB çapına dik olan CD kirişi çiziliyor. AD ve BC nin orta noktaları sırasıyla M ve N olsun.
AD=2kök3 ve BC=6 ise MN kaçtır?
Soru(UMO-2012): ABC üçgeninin BC ve AC kenarları üzerinden D ve E noktaları alınıyor.AD ile BC nin kesim noktası F olsun.
AF=DC=2BF=2EC ve Alan(ABF)=Alan(DEC) ise Alan(AFC)/Alan(BFC)=?
Soru(UMO-2012): AB=5, BC=6, AC=7 olan ABC üçgeninde A açısına ait iç açıortay BC yi D de kesiyor.A dan geçen ve BC ye D de teğet olan çember AB ve AC yi sırasıyla E ve F de kesiyor. AD ile EF nin kesim noktası T olmak üzere; AT/TD oranı kaçtır ?
Soru(UMO-2012): ABC üçgeninde BC üzerinde alınan bir D noktası için AB=DC=7 ,BD=5 ,AC=13 ve ABD ve ADC üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin yarıçapları sırasıyla r1 ve r2 olmak üzere; r1/r2 kaçtır?
Soru(UMO-2012): ABC üçgeninin iç bölgesinde alınan bir D noktası için m(BAD)=20o , m(CAD)=80o , m(ACD)=20o , m(BCD)=30o ise ABD açısı kaç derecedir?
-
x3-3x+1=0 denkleminin çözümleri a,b,c olsun. a8+b8+c8=?
-
hocam bir de tübitak ın geçen kişi sayısını arttıracağı konusunda söylentiler var bu konuda birşey biliyor musunuz
2.aşamaya geçen kişi sayısı 55-60 kadar olacak. yani bir değişiklik yok. Bununla birlikte 56-110 arasında olan ama 2.aşamaya çağrılmayan öğrencilere bu yıl ilk kez Afyon'da kamp düzenlenecek. 2013 1.aşama sınavına hazırlık ve 2.aşamaya hazırlık karışımı bir düzeyde çalışma yapılacak. Bu yıl verim alınırsa sonraki yıllarda da bu uygulamaya devam edilebilir.
aklımda olan bir kaç soruyu daha ekleyeyim:
Soru (UMO - 2012): x4 + 8x3 + 18x2 + 8x + a = 0 denklemiin dört farklı reel kökü olmasını sağlayan a değerlerinin aralığı nedir?
Soru (UMO - 2012): 100 den küçük kaç tane asal sayı ardışık tam sayıların kareleri toplamı olarak yazılabilir?
Soru (UMO - 2012): x4 - 7x3 + 14x2 - 14x + 4 = 0 denkleminin reel köklerinin toplam kaçtır?
Soru (UMO - 2012): x3 - 3x + 1 = 0 denkleminin üç farklı kökü a, b, c ise a8 + b8 + c8 kaçtır?
Soru (UMO - 2012): n bir pozitif tam sayı olmak üzere (2n - 1)502 + (2n + 1)502 + (2n + 3)502 ifadesinin 2012 ile bölümünden elde edilebilecek farklı kalanların toplamı kaçtır?
-
Soru (UMO - 2012):4mn(m+n-1) = (m2+1)(n2+1) denkleminin kaç farklı (m,n) tamsayı ikilisi çözümü vardır?
Soru (UMO - 2012):{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} kümesinin ardışık 4 eleman içermeyen kaç altkümesi vardır?
Soru (UMO - 2012):n den küçük ve n ile aralarında asal 20 pozitif tamsayı olmasını sağlayan kaç n pozitif tam sayısı vardır?
-
Tübitak orijinal sınav kitapçığını yayınladı. A kitapçığına göre çözümleri yapalım:
-
çözüm 1:
-
çözüm 2:
-
çözüm 3:
-
Çözüm 6:
n12 = 1 (mod13) ve n12 = 1 (mod5) => n12 = 1 (mod65) olur.
n29 = 7 (mod65) => n5 = 7 (mod65)=> n15 = 18 (mod65) 0 => n3 = 18 (mod65)
n3 = 18 (mod65)
n5 = 7 (mod65) => n8 = -4 (mod65) olur.
n8 = -4 (mod65)
n5 = 7 (mod65) => n13 = -28(mod65)
n12 . n = 37 (mod65) => n = 37 (mod65)
-
Çözüm 5:
-
Çözüm 7:
-
7. soru için yaptığım çözüm ???
x=y=z olsun. O halde, [f(x)]3=12f(x3)-16x3 olur. f(x)=ax olarak alalım.
a3x3=12ax3-16x3
(a3-12a+16)x3=0
(a-2)2(a+4)x3=0
a=2 ve a=-4 için f(x)=2x ve f(x)=-4x fonksiyonları bulunur.
-
çözüm-31:
m=n=x alarak ifadeyi düzenleyelim,
x+f(x+f(x+f(x))) = x+f(x)
f(x+f(x+f(x))) = f(x)
x+f(x+f(x)) = x
f(x+f(x)) = 0 => x=6 için f(12)=0
=> x=2012 için f(2012+f(2012))=0 => 2012+f(2012) = 12 => f(2012)=-2000
-
Çözüm 34.
21 = 2 (mod10)
22 = 4 (mod10)
23 = -2 (mod10)
24 = -4 (mod10)
25 = 2 (mod10) Yani 2 ' nin kuvvetlerinden kalanlar sırasıyla 2,4,(-2) ve (-4) olacaktır.
Şimdi bunların önüne gelecek katsayıları yerleştirelim.
2 4 -2 -4
1 2 3 4
5 6 7 8
9 0 1 2
3 4 5 6
7 8 9 0 ve bu durum hep aynı şekilde devam eder.
1.21 + 2.22 + ......... + 12.212 = 4 (mod10)
1.21 + 2.22 + ......... + 2000.22000 = 0 (mod10) olduğundan
1.21 + 2.22 + ......... + 2012.22012 = 4 (mod10) elde edilir ki
1.21 + 2.22 + ......... + 2012.22012 +2013.22013= 4+3.2=0 (mod10) olur. Cevap : 2013
-
Çözüm 8 :
Önce boş küme için : C(7,0).(27 -1)= 127 (Farklı dediği için oluşabilecek tüm kümelerin sayısından "1" çıkarırız)
"1" elemanlı küme için : C(7,1).(26 -1)= 441
"2" elemanlı küme için : C(7,2).(25-1)= 651
"3" elemanlı küme için : C(7,3).(24 -1)= 525
"4" elemanlı küme için : C(7,4).(23 -1)= 245
"5" elemanlı küme için : C(7,5).(22-1)= 63
"6" elemanlı küme için : C(7,1).(21 -1)= 7
TOPLAM : 2059 tane
-
çözüm-9:
-
9.problem
-
EDİT: Please use forum functions while add pictures.
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\hspace{-16}\bf{y=f(x)=x^4+8x^3+18x^2+8x=-a}$\\\\\\%20$\bf{\frac{dy}{dx}=4x^3+24x^2+36x+8}$\\\\\\%20$\bf{\frac{d^2y}{dx^2}=12x^2+48x+36}$\\\\\\%20Now%20For%20Max.%20Or%20Min.%20$\bf{\frac{dy}{dx}=0}$\\\\\\%20So%20$\bf{4x^3+24x^2+36x+8=0}$\\\\\\%20$\bf{4%20\big(x^3+6x^2+9x+2\big)%20=0}$\\\\\\%20$\bf{x=-2\;\;,-2+\sqrt{3}\;\;,-2-\sqrt{3}}$\\\\\\%20$\bf{\frac{d^2y}{dx^2}=12\big(x^2+4x+3\big)=12(x+1)(x+3)}$\\\\\\%20So%20$\bf{\frac{d^2y}{dx^2}|_{x=-2}=-}$(ve)\\\\\\%20Means%20$\bf{y=f(x)}$%20is%20Min.%20at%20$\bf{x=-2}$\\\\\\%20Similarly%20$\bf{\frac{d^2y}{dx^2}|_{x=-2+\sqrt{3}\;,-2-\sqrt{3}}=(+)}$(ve)\\\\\\)
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\hspace{-16}$So%20$\bf{y=f(x)}$%20is%20Min.%20at%20$\bf{x=-2+\sqrt{3}\;,-2-\sqrt{3}}$\\\\\\%20So%20$\bf{y=f(x)_{Max}=8}$%20and%20$\bf{y=f(x)_{Min}=-1}$\\\\\\%20So%20$\bf{-1%3C-a%3C8\Leftrightarrow%20a\in%20\big(-8,1\big)}$)
-
(23)
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\hspace{-16}$The%20Equation%20$\bf{x^3-3x+1=0}$%20has%20a%20Roots%20$\bf{a\;,b\;,c}$\\\\\\%20Then%20Using%20Vieta,s%20Formula\\\\\\%20$\bf{a+b+c=0}$\\\\\\%20$\bf{ab+bc+ca=-3}$\\\\\\%20$\bf{abc=-1}$\\\\\\%20If%20$\bf{a+b+c=0\Leftrightarrow%20a^3+b^3+c^3=3abc}$\\\\\\%20So%20$\bf{a^3+b^3+c^3=-3\Leftrightarrow%20\sum_{cyclic(a,b,c)}a^3=-3}$\\\\\\%20Similarly%20$\bf{(a+b+c)^2=\sum_{cyclic(a,b,c)}a^2+2(ab+bc+ca)}$\\\\\\%20So%20$\bf{\sum_{cyclic(a,b,c)}a^2=6}$\\\\\\%20Now%20Given%20$\bf{x^3=3x-1}$\\\\\\%20So%20$\bf{x^5=3x^3-x^2}$\\\\\\)
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\hspace{-16}$So%20$\bf{\sum_{cyclic(a,b,c)}a^5=3.\sum_{cyclic(a,b,c)}a^3-\sum_{cyclic(a,b,c)}a^2}$\\\\\\%20So%20$\bf{\sum_{cyclic(a,b,c)}a^5=3(-3)-6=15}$\\\\\\%20Similarly%20$\bf{x^3=(3x-1)\Leftrightarrow%20x^6=9x^2+1-6x}$\\\\\\%20So%20$\bf{\sum_{cyclic(a,b,c)}a^6=9.\sum_{cyclic(a,b,c)}a^2-6.\sum_{cyclic(a,b,c)}a+3=9.(6)+3=57}$\\\\\\%20So%20$\bf{x^3=3x-1\Leftrightarrow%20x^8=3x^6-x^5}$\\\\\\%20So%20$\bf{\sum_{cyclic(a,b,c)}a^8=3.\sum_{cyclic(a,b,c)}a^6-\sum_{cyclic(a,b,c)}a^5}$\\\\\\%20So%20$\bf{\sum_{cyclic(a,b,c)}a^8=3.(57)-(-15)=186}$)
-
sınavda en çok yanlış yapılan soru bu olabilir. sınavdan çıkınca sıcağı sıcağına arkadaşlarla yaptığımız konuşmalarda çoğunluk cevap 4 demişti ama doğrusu 5 olacak. bu arada ben de yanlış çözmüştüm ;D
çözüm 10:
-
çözüm-19
-
çözüm-33:
-
çözüm 17
-
çözüm-29:
-
Çözüm27
-
çözüm-25:
-
çözüm-17:
-
soru 21
-
çözüm-16:
-
Çözüm 13
20 noktayı yarım çember üzerinde çapın uç noktalarına denk gelmeyecek bicimde secersek olusan tüm üçgenler geniş acılı olur.
Yani C(20,3)
-
soru 30 da ben 3 tamsayı değeri buluyorum.çözümümü inceler misiniz hocalarım nerede hatam var?
-
soru 31
-
26. soru deneme sorusu zaten rakamlardan herşeyi anlayabileceğiz.
12 + 22 =5 ((( 72 + 82 ne kadar yok zaten burdan sonrası aşılıyor)))
22 + 32 =13
42 + 52 =41
52 + 62 =61
22 + 32 + 42 =29 ((( 52 + 62 + 72 sınır)))
4 lü ve 5 li durumlarda var. 42 + 52 + 62 + 72 sınır)))
32 + 42 + 52 + 62 +72 sınır)))
6 lı durumda 2 den 7 ye kadar toplamı sınır ve 7 li durumda zaten aşıyor 8 li ve 9 lu durumlarda zaten denenemez çünkü sayı toplamı 100 ü aşar.görüldüğü üzere 5 tane asal sayı yazılabilir.
-
Çözüm 14
-
Çözüm 32
-
Çözüm 24
-
çözüm-16:
Teşekkür ediyorum hocam çözümü güncelledim ''ERhan''
Erhan hocam ben 4 buluyorum. -3 ten küçük şartı var bu durumda -2 lerin olduğu sutunlar olamaz. Sanırım bu sorunun yanıtı yanlış verilmiş. Ya da ben 6 yanıtını bulamıyorum.
-
Şimdi oldu bende yazacaktım bilgisayrın şarjı bitti :)
-
soru 30 da ben 3 tamsayı değeri buluyorum.çözümümü inceler misiniz hocalarım nerede hatam var?
x=y=1 z=0 ........1
x=y= -1 z=2 ...........2
x=3 y= -1 z=-4...........3
x= -1 y = 3 x=-4.........4. çözüm sanırım siz simetrik olanı kaçırdınız.
-
aaa doğru hocam gece gece soruya bakınca böyle şeyleri göremiyor insan ;D
-
B de 35 çözeyim bende hayret çözen olmamış
x3+y4=x2.y
ifadesinde x in en büyük değerinin y nin en büyük değerine oranı sorulmuş
once y3 e bolersek her tarafı
(x/y)3-(x/y)2+y=0 olur burdan x/y=a dersek
a3-a2+y=0 olur a ya gore türev alırsak a=2/3 için max değer gelir burdan yerine yazarsak
y için 4/27 bulunur
benzer sekilde y=x/a yazarsak yerine a ya gore türevden x in en büyük değeri 27/256 gelir burdan oranlarsak 729/1024 olur
-
4, 12 ve 15. soruların çözümleri
-
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} kümesinin ardışık 4 eleman içermeyen kaç altkümesi vardır?
sorusunun çözümünü inceledim fakat yorumlamakta zorlandım, ayrıntılı bir çözüm alabilirsem sevinirim,tşk ederim, saygılar...
-
Hocam bu konuyla alakalı benzer örnekler mustafa özdemir beyin kitabında var
kısacası örneğin 10 uzunluğunda 0-1 lerden oluşan bir dizi düşünün
örneğin 0100101001 bunun ifade ettiği {2,5,7,10} kümesidir.
bu mantıkla kümeleri araştırıyoruz
sonrasında 1 leri özdeş cisimler ve 0 ları kutular arası ayıraçlar gibi farzedip çözüme gidiyoruz
-
asım hocam ilginiz için tşk ederim, o mantığı biliyorum fakat soru üzerine kurgulamakta hala zorlanıyorum açıklamanızı tam çözüm üzerinden yapmanız mümkün olursa çok sevinirim, saygılar...
-
Ali İlker Bağrıaçık Hocam ın çözümünü yolluyorum ilgilenen herkese çok tşk ederim, benim açımdan çok verimli bir paylaşım oldu saygılar sunarım...
-
19. soru için farklı bir çözüm yolu yolluyorum, Mustafa Özdemir hocamızın 4. kitabında benzer çözümler var...
-
Temel hcam
12 soruyu bir daha gönderiyorum
kusura bakmayın gecikmiş olabilir bu günlerde fazla internete giremiyorum
umarım daha anlaşılır olmuştur
-
22. soruda çözüm kümesi: (1,1),(1,-1),(-1,1),(5,13),(13,5) çıkıyor fakat cebirsel olrak bulamadım
-
8. soruya farklı bir bakış...
-
sanırsam forumda 11. ve 18. sorular çözülmemiş.
-
36.soru çözümü
çözüm uzun gibi görünebilir fakat çok basit bir mantık bakmanızı tavsiye ederim
-
çözüm 11:
-
Çözüm 20