Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Mart 27, 2012, 01:25:24 öö
-
Konu başlığına bakarak şaka yaptığımız düşünülmesin. Gerçekten Fermat'nın Son Teoremi'ni bir problem çözümünde uygulayacağız.
Problem: Her n > 1 tamsayısı için 21/n sayısı irrasyoneldir, gösteriniz.
Çözüm: n = 2 için kök(2) nin irrasyonel olduğunu Euclid ispatlamıştı. n > 2 olsun. (p, q) = 1 olmak üzere 21/n = p/q olduğunu kabul edelim. pn = 2qn olup pn = qn + qn yazılır. Bu ise Fermat'nın son teoremine göre mümkün değildir :D (Andrew Wiles ispatlamıştı) Tümevarım prensibi gereğince her n > 1 için 21/n sayısı irrasyoneldir.
Son teorem'in kullanışsız olduğu söylenir, işte uygulamasını yaptık :)
bu kadar şaka yeterli diyenler için şunu soralım:
- peki son teorem'i kullanmadan yukarıdaki probleme bir çözüm verebilir misiniz?
bu kadar şaka yetmez, işi biraz daha sulandıralım diyenler için de şunu soralım:
- Son teorem ile ilgili başka bir uygulama problemi verebilir misiniz?
-
Son teorem kullanılmadan yapılan bir çözüm:
pn = 2qn eşitliğinde sağ taraf çift olduğu için sol tarafın da çift olması gerekir o halde p = 2a dır. Şimdi denklem 2n-1an = qn haline geldi. Aynı mantıkla q nun da çift olması gerekir . Hem p hem de q çift oldu, bu da (p,q) = 1 olması ile çelişir
-
Verilen denklemin pozitif tamsayı çözümlerini bulunuz:
$$ x^3-15x^2+75x +27y^3 = 341$$
-
Denklemi $(x-5)^3+(3y)^3=6^3$ olarak yazabiliriz. Fermat'ın son teoremine göre $x-5\le0$ ve $y\le0$ olacağından biricik pozitif çözüm $x=5$ ve $y=2$ olur.
-
$2013$ Çin Matematik Olimpiyatı $2.$ Aşama sınavı'ndan bir soru daha örnek verilebilir. (Çin Matematik olimpiyatlarında sanırım bu tarz teoremlerin kullanımı yasak ama burada kullanabiliriz :) )
Herhangi bir $n$ pozitif tam sayısı için $$(x+y)^n+(y+z)^n=(x+z)^n$$ eşitliğini sağlayan $x,y,z$ tek tam sayılarının bulunamayacağını gösteriniz.
İspat:
$n>2$ için Fermat'ın Son Teoremi gereğince genelliği bozmadan $x+y=0$ alabiliriz. $x=-y$ yazalım. $$(y+z)^n=(-y+z)^n$$ $n$ tek ise $y+z=-y+z$ yani $y=0$ olur. Çelişki. $n$ çift ise $y+z=-y+z$ veya $y+z=y-z$ olmalıdır. $1.$ durumda $y=0$ çelişkisi , $2.$ durumda $x=0$ çelişkisi geliyor.
$n=1$ olsun. $x+2y+z=x+z$ yani $y=0$ elde edilir. $0$ çift sayı olduğu için çelişki elde edilir.
$n=2$ olmalıdır. Bu durumda $$(x+y)^2+(y+z)^2=(x+z)^2$$ elde edilir.
https://geomania.org/forum/index.php?topic=9594.0
Bu linkteki parametrizasyonların yardımıyla $k.(m^2-n^2),k.2mn,k.(m^2+n^2)$ , $(m,n)=1$ , $m\not \equiv n \pmod 2$ olduğunu biliyoruz. Genelliği bozmadan $x+y=k.(m^2-n^2)$ ve $y+z=k.2mn$ , $x+z=k.(m^2+n^2)$ alalım. Bu durumda $k.(m^2-n^2+2mn)=x+z+2y$ yani $2y=k.(m^2-n^2+2mn)=k.(m^2+n^2)+2y$ yani $y=k.(-n^2+mn)$ gelir.
$x=k.(m^2-n^2+n^2-mn)$ yani $x=k.(m^2-mn)$ olur. $y$ nin tek sayı olabilmesi için $k$ tek , $n$ tek , $m$ çift sayı olmalıdır. Bu nedenle $x=k.m.(m-n)$ çift sayı olmuş olur. Çelişki elde edilir.