Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: tanerkalyoncu - Mart 26, 2012, 06:48:09 ös
-
soru:6k+1 tipinde sonsuz asal vardır?ispatlayın.
bu Drichlet teoreminin özel bir hali aslında .ama farklı bir ispat yöntemi olabilir mi?
-
Varsayalım 6k+1 tipinde asal sayılar sonlu tane olsun ve bu tip asalların en büyüğü q olsun. q dan küçük tüm asal sayılar p1, p2, ... , pn olsun. X = p1p2...pnq+1 sayısını ele alalım. X sayısı p1, p2, ... , pn ve q asal sayılarının hiçbirisine bölünmeyeceği için asaldır. Aynı zamanda p1p2...pnq çarpımı 2 ve 3 asal sayılarını içerdiği için 6 ya bölünür dolayısıyla X sayısı 6k+1 tipinde bir asal sayıdır. O halde q dan büyük ve 6k+1 tipinde bir asal sayı elde ettik : ÇELİŞKİ. Dolayısıyla 6k+1 tipindeki asallar sonsuz çokluktadır.
-
Dirichlet prensibine, Euclid'in ''sonsuz sayıda asal vardır'' teoreminin bir genellemesi gözüyle bakılabilir. 4m + 3 formunda sonsuz çoklukta asal sayı olduğunun ispatı da aşağıdaki linkte benzer biçimde verilmiştir:
http://www.mathpath.org/proof/proof.great.htm
-
çok teşekkürler
-
Beyşehirli hocam, çözümünüzü tam olarak anlayamadım. Sanırım varsayımınıza göre q, 6k+1 şeklinde yazılabilen en büyük asal sayı. Yani q'dan büyük olan, ancak 6k+1 formunda olmayan asal sayılar bulunabilir. O halde X sayısını bölen q'dan büyük ve X'ten küçük bir asal sayının bulunması olasıdır. X asal olmak zorunda değildir.
Lokman hocam, verdiğiniz linkteki ispat her ne kadar tercüme edip anlayana kadar zorlasa da hoş bir ispat. Bu ispatı 6k+1 formundaki asallar için uyarlayabilir miyiz?
-
beyşehirli hocamın ispatını şöyle yapabilirmiyiz...
6k+1 tipinde sonlu tane asal sayı olsun. bunlar a=7<a<b<...<c olmak üzere a=6m+1,b=6n+1,...c=6r+1 olsun.(m,n,...r doğal sayı)
bu durumda p=6.a.b....c + 1 = 6.(6m+1)...(6r+1)+1 sayısına bakalım.p sayısı da 6x+1 tipindedir.dolayısyla en az bir asal çarpanı vardır.bu sayı kabul ettiğimiz a,b,...,c asallarından hiç birine bölünemiyeceğinden p bir asal sayıdır.bu çelişkiye göre 6k+1 tipinde sonsuz asal vardır
-
Taner hocam, aynı şekilde p'nin 6x+1 şeklinde olması, 6n+1 şeklinde bir asal böleninin olmasını gerektirmez. Mesela 55 sayısı 6*9+1'dir, ancak asal çarpanları olan 5 veya 11 6n+1 formunda değildir. p sayısının çift sayıda 6n-1 formunda asal çarpanı da olabilir.
Soru Lokman hocamın verdiği linkteki gibi 6n-1 formundaki asalları sorsaydı p=6*a*b*...-1 sayısının 6n-1 formunda ve a,b,...den farklı en az bir asal çarpanı olduğunu söyleyebilirdik, çünkü 3'ten büyük her asal sayı 6k-1 veya 6k+1 formundadır, öbür türlü 2 veya 3'e bölünür. p'nin bütün asal çarpanları 6n+1 formunda olsaydı p de 6k+1 formunda olurdu, o halde 6n-1 formunda en az bir asal çarpanı olmalıdır ve bu çarpan a,b,...den farklıdır, derdik. Ama 6n+1 asallarını sorunca durum değişiyor.
-
öyleyse 6k+1 tipinde asalların sonsuzluğunun bilinen bir ispatı yok.yani henüz yok :D.çokta kolay değil miş....
-
Soru Lokman hocamın verdiği linkteki gibi 6n-1 formundaki asalları sorsaydı p=6*a*b*...-1 sayısının 6n-1 formunda ve a,b,...den farklı en az bir asal çarpanı olduğunu söyleyebilirdik, çünkü 3'ten büyük her asal sayı 6k-1 veya 6k+1 formundadır, öbür türlü 2 veya 3'e bölünür. p'nin bütün asal çarpanları 6n+1 formunda olsaydı p de 6k+1 formunda olurdu, o halde 6n-1 formunda en az bir asal çarpanı olmalıdır ve bu çarpan a,b,...den farklıdır, derdik. Ama 6n+1 asallarını sorunca durum değişiyor.
ben de linkteki ispata benzeterek 6m - 1 formunda sonsuz çoklukta asal olduğunun ispatını yazacaktım ... ispatlanmış bile :) Dirichlet Prensibinin özel durumlardaki ispatlarından bazılarını rahatça yapabiliyoruz. ama hepsini değil. örnek olarak 6n + 1 formunda sonsuz çoklukta asal olduğunu yukarıda verdiğim linkte verilen ispata benzer biçimde ispatlayamıyoruz. Taner hocamın da dediği gibi 'çokta kolay değilmiş' hatta sorunun hakkını teslim edelim en iyisi. bu basbayaa zor bir soru :D
-
peki 6k-1 formunda sonsuz tane asal olması 6k-1 formunda ki her sayının asal olmasını gerektirir mi?yani her k sayma sayısı için hep asal sayı mı olur?6k-1 formunda bir bileşik sayı olabilir mi?
-
mesela; k=6 için 6k-1=35 dir. demek ki her k sayma sayısı için 6k-1 asal değildir.
-
Peki hocam; bu Drichlet Teoremi'nin ispatının mevcut olduğu bir döküman var mı? Ben internette aradım fakat bulamadım..
-
Dirichlet prensibinin ispatı olan birkaç bilimsel döküman bulmuştum nette. kullanılan matematik dili bana biraz uzak geldiği için hiç bulaşmayayım, üstü kalsın demiştim. görmek isteyeceğinizi sanmıyorum ama yine de çok merak ediyorsanız buraya ekleyebilirim :)
-
tabii ya erhan hocam haklısınız. çok basit bir şekilde görülebiliyor olmadığı .insan daha karışık matematiksel ispatlar bekliyor.oysa k=6 için için durum ortada.üşengeçlik yapmışım kusuru bakmayın :D
-
peki 6k+1 in içinde sonsuz asal olduğunu gösteremiyoruz.şunu ispatlayabilirmiyiz acaba
6k+1 tüm terimleri ikişer ikişer aralarında asal olan bir aritmetik dizidir.
-
k = 4 için 6k + 1 = 25.
k = 9 için 6k + 1 = 55
k = 14 için 6k + 1 = 85
olup bunlar 5 ile bölünür. aralarında asal olmayan bir çok terim vardır. hatta 5 ile bölünebilen sonsuz çoklukta terim vardır.
fakat 6k + 1 dizisinde herhangi iki ardışık terim daima aralarında asaldır. bunun ispatı Euclid algoritmasıyla kolayca gösterilebilir.
-
sayın hocam hata bende sorunun içine ardışık olmayı eklememişim.ardışık olursa nasıl gösterebiliriz?
-
x ile y nin en büyük ortak bölenini (x,y) ile gösterelim. n keyfi bir tam sayı olmak üzere (x,y) = (x,y - x) = (x,y - nx) eşitliklerini biliyoruz. (Euclid algoritması olarak bilinir) Soruya dönersek
ardışık terimler 6k + 1 ve 6k + 7 şeklindedir. (6k + 1, 6k + 7) = (6k + 1, 6k + 7 - (6k + 1)) = (6k + 1, 6) = 1 bulunur. Yani 6k + 1 ve 6k + 7 aralarında asaldır.
-
oh nihayet 6k+1 ile ilgili bir şeyler bulduk.Öyleyse 6k+1 tipinde yazılan bir aritmetik dizide ardışık terimler aralarında asaldır.çok teşekkürler...
-
YENİ BİR SORU(TANER)
6k+1 tipinde ki bütün sayılar 6k+5 tipinde sonsuz tane asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir.
-
YENİ BİR SORU(TANER)
6k+1 tipinde ki bütün sayılar 6k+5 tipinde sonsuz tane asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir.
7 asal sayısı kendi başına ters bir örnek oluşturuyor.
6k + 1 formunda olan 5.11.7 = 385 bileşik sayısını gözönüne alalım.
5, 11 asalları 6k + 5 tipindedir. 7 asalı ise 6k + 1 tipindedir. iddia yanlıştır.
-
Cahit Arf Matematik Günleri 2011 2. aşama sınav soruları. 5. sorunun c seçeneğinde n=6 alınca bu soru oluşuyor. Soru genel hali ele almış, yani nk+1 şeklindeki asalların sonsuzluğunu ispatlamış, n=6 durumu için daha basit bir ispat bulabilirseniz buradan paylaşın ki tüm geomania.org kullanıcıları faydalansın.
kaynak: http://arf.math.bilgi.edu.tr/arsiv/ (http://arf.math.bilgi.edu.tr/arsiv/)
-
Beysehirlinin ispati dogru bu sonsuz asal gosterimi icinde kullaniliyor ancak bu yazim hatasi olmus en buyuk asaldan onceki tum asallari carpip 1 ekledigimizde bir asal olur ve 6k+1 dir demeye calismis