Teorem: $ABC$ üçgeninde $(I)$ iç teğet çemberi ve $(I_a)$ dış teğet çemberi $BC$ doğrusuna sırasıyla $S$, $S_a$ noktalarında değsin. $[SS']$, $(I)$ çemberinin bir çapı olsun.
a. $A$, $S'$, $S_a$ noktalarının doğrusal olduğunu ispatlayınız.
b. $A'$, $B'$, $C'$; $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$ kenarlarının orta noktaları olsun. $I$ noktasının, $A'B'C'$ üçgeninin Nagel noktası olduğunu ispatlayınız.
c. $I$, $G$, $N$ noktalarının doğrusallığını ve $\dfrac{|GI|}{|GN|}=\dfrac{1}{2}$ olduğunu ispatlayınız. ($G$ ile $N$ sırasıyla, $ABC$ üçgeninin kenarortaylarının kesim noktası ve Nagel noktasıdır.)
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=2581.0;attach=15428;image)
İspat:
a. $A$ merkezli $\dfrac{r}{r_a}$ oranlı homoteti $S_a$ noktasını $S'$ noktasına gönderir. Böylece $A$, $S'$, $S_a$ noktaları doğrusal olur.
b. $[SS']$ nün orta noktası $I$ ve $[SS_a]$ nın orta noktası $A'$ olduğundan $A'I \parallel S_aS' =AS_a$ olur. $AS_a$, $BS_b$, $CS_c$ noktaları $N$ Nagel noktasında kesişmektedir. Böylece medial homoteti; $N$ noktasını $A'I$, $B'I$, $C'I$ doğrularının kesim noktasına gönderir. Dolayısıyla $N$ noktasının $ABC$ üçgenindeki özelliği ile $I$ noktasının $A'B'C'$ üçgenindeki özelliği aynıdır.
c. $N$ ve $I$ noktaları, $G$ merkezli $-\dfrac{1}{2}$ oranlı medial homoteti için homotetik eşlenik noktalar dır. Homotetik eşlenik noktalar ve homoteti merkezi doğrusal olduğundan $I$, $G$, $N$ noktaları doğrusaldır. Homoteti oranından $\dfrac{|GI|}{|GN|}=\dfrac{1}{2}$ bulunur.
Kaynak: Cem Tezer'in 26 Aralık 1998 tarihli Geometri-1 dersi 2. Ara sınavı.